transformée de Fourier

[invited023d349]

Bonsoir,
j'ai un peu de mal avec un exercice.
On a une fonction porte tel que x(t)=П_a(t)
On pose le produit de convolution de la porte avec elle même y(t)= (x*x)(t)

On me demande de calculer la transformée de Fourier de la porte П_a(t) et de calculer la transformée de Fourier de y(t) en utilisant le théorème de Plancherel.

Je pense que la transformée de Fourier de la porte est X(μ)= sinc(aμ).
Je pense que le théorème de Plancherel dit que Y(μ) = (X*X)(μ) = X(μ) * X(μ)
Donc c'est pour çà que je pense que Y(μ)= (sinc(aμ))², mais je suis pas du tout sûr.
Je précise que je suis nul en maths, c'est vraiment la transformée de Fourier de y(t) qui me pose problème.

Merci pour vos réponses.
Cordialement
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous avez raison, la transformée de Fourier de votre fonction porte convoluée par elle même est bien le carré de la TF de la porte, c'est à dire le sinus cardinal au carré.

C'est le calcul direct qui vous pose problème ?

Dans ce cas là il suffit d'écrire explicitement ce que vaut le produit de convolution des deux fonctions porte. Avec un petit dessin vous verrez tout de suite.

[invited023d349]

Bonjour,

merci pour ta réponse.
En fait mon problème, c'est que j'étais pas du tout sûr car en cours on avait fait un exemple avec
y(t) = exp(-πt²/β)cos(2πat) et on était passé par une intégrale alors ça m'étonnais que ce soit :
Y(μ) = (X*X)(μ) = X(μ) * X(μ) = sinc(aμ)*sinc(aμ) =(sinc(aμ))²
Sinon j'ai vu sur un site que c'était une fonction triangle la réponse, est-ce que çà n'a rien à voir?

Merci
Cordialement

[albanxiii]

Re,

La fonction triangle est le résultat dans le domaine temporel de la convolution de vos deux portes.
Et dans le domaine fréquentiel, c'est bien le sinus cardinal au carré. Vous avez bon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited023d349]

Bonsoir,
merci pour votre réponse.
Je voulais juste savoir si on pouvait développer l'expression du sinus cardinal au carré.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

Non, le sinus cardinal reste sous cette forme, au carré également. Mais c'est une fonction que l'on rencontre relativement souvent en physique, optique notament, elle est considérée comme une fonction standard.

[invited023d349]

Bonsoir,
On me demande par la suite de retrouver la transformée de Fourier mais cette fois par le calcul direct avec y(t)
Le produit de convolution d'une fonction porte avec elle-même est apparemment une fonction triangle.
La transformée de Fourier est Y(µ)= intégrale de y(t) exp(-i2piµt)dt = intégrale de fction triangle exp(-i2piµt)dt mais je ne sais pas du tout comment résoudre ce genre d'intégrale.

Merci pour vos réponses.
Cordialement