transformée de fourier

[mc222]

Bonjour,

Je me pose quelques questions à propos de la TF:

Tout d'abord, si j'ai bien compris, cela repose sur le fait que toute fonction, quelle qu'elle soit, peut être décrite comme une somme infinit de fonction trigonométrique de toute fréquence et donc les modules respectifs dépendent de la faction qu'on cherche à décrir.

Mais les fonction trigonométrique en question, c'est des sinus ou des cosinus ? Parceque si c'est des sinus, la somme même infinit de fonction sinus donnera toujours 0 en t =0 !

Ensuite, si j'essais de trouver le spectre qui amène à une fonction constante, je n'arrive pas.

Imaginons qu'on cherche à faire y=3, quelle sera la fontion qui assosira pour chaque fréquence, le module du sinus (ou cosinus) ? (c'est à dire sa TF).

Merci d'avance, a+
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[stefjm]

Je me pose quelques questions à propos de la TF:

Tout d'abord, si j'ai bien compris, cela repose sur le fait que toute fonction, quelle qu'elle soit, peut être décrite comme une somme infinit de fonction trigonométrique de toute fréquence et donc les modules respectifs dépendent de la faction qu'on cherche à décrir.

Somme discrète : série de Fourier.
Somme continue (intégrale) : transformée de Fourier.

Mais les fonction trigonométrique en question, c'est des sinus ou des cosinus ? Parceque si c'est des sinus, la somme même infinit de fonction sinus donnera toujours 0 en t =0 !

Pour la série de Fourier, il y a un coef en sinus et un en cosinus. (passage en complexe facile)

Ensuite, si j'essais de trouver le spectre qui amène à une fonction constante, je n'arrive pas.

Normal, c'est un dirac. (une impulsion)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier...#Distributions
Ce n'est pas une fonction.

[mc222]

Ok, merci.

Donc ca veux dire que si je cherche à faire une constante avec des sinus, il faut que je mette un coefficient infiniment grand devant le sinus qui à un fréquence nulle ( dirac centré sur l'origine) ?

Merci de m'éclairer !

[stefjm]

Pas tout à fait.
La fonction delta permet de passer du continu au discret.

Pour la constante, elle n'a qu'une raie à fréquence nulle et dont le poids correspond à la valeur de la constante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

pour faire simple.

Pour des fonctions -périodiques (et par extension, pour n'importe quelle période, ou pour des fonctions juste définit sur un segment []), on peut décomposer en série de Fourier:

Les coefficients peuvent être obtenus à partir de f.
Pour ça, il faut quand même quelques propriétés sur f (en particulier continue et dérivable, ou continue par morceaux et dérivable si on s'interresse pas au point de dicontinuité...)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Série_de_Fourier

Cependant, si on s'interresse à des fonctions non périodiques définit sur , il faut utiliser une extension: la transformée de Fourier
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_de_Fourier
Dans ce cas:
avec une fonction qui peut s'obtenir à partir de f.
Néanmoins, pour cela, il faut que soit intégrable .
Sinon, la fonction "n'existe pas".
Si on permet à cette fonction d'être une distribution (http://fr.wikipedia.org/wiki/Distrib...(mathématiques) ), on peut trouver des transformées de Fourier à des fonctions qui n'en avait pas , comme la fonction constante.
En effet, en utilisant la distribution de Dirac (http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac), on a :
et donc la transformée de Fourier de la fonction constante est .

[b@z66]

Ok, merci.

Donc ca veux dire que si je cherche à faire une constante avec des sinus, il faut que je mette un coefficient infiniment grand devant le sinus qui à un fréquence nulle ( dirac centré sur l'origine) ?

Merci de m'éclairer !

Non, dans le cas de la transformée de Fourier(et non de la série de Fourier), l'amplitude à adjoindre à un sinus d'une fréquence donnée est "l'aire", à cette fréquence, sous la fonction du module de cette transformée de Fourier. Dans le cas du Dirac que tu mentionnes(transformée de Fourier d'une constante de 1 par exemple), l'amplitude du cosinus de fréquence 0 n'est pas égale à l'amplitude du Dirac(qui est effectivement infinie) mais est représentée par "l'aire" de ce Dirac placé à la fréquence nulle et qui est par définition 1.

[b@z66]

Ok, merci.

Donc ca veux dire que si je cherche à faire une constante avec des sinus, il faut que je mette un coefficient infiniment grand devant le sinus qui à un fréquence nulle ( dirac centré sur l'origine) ?

Merci de m'éclairer !

PS: Pour savoir si tu as affaire à des sinus ou des cosinus, tu as juste à retenir cela: la partie réelle d'une TF représente l'équivalent des coefficients de cosinus d'une série de Fourier tandis que sa partie imaginaire représente l'équivalent des coefficients de sinus de la série de Fourier. Je te laisse comprendre tout seul pourquoi dans le cas d'un dirac placé en f=0, on a obligatoirement un cosinus.

[invitef17c7c8d]

Je trouve, mc222, que tu poses de bonnes questions!

C'est quand même pas immédiat qu'un signal temporel très court, de type impulsion de Dirac soit représenté par un très très grand nombre d'ondes planes.

On peut imaginer un "paquet d'onde" avec des longueurs d'onde voisines.
Alors en dehors du paquet, les ondes vont se compenser par interférence. En augmentant, le nombre d'onde, on réduit la "largeur" du paquet.

En fait sur un paquet d'onde, on ne peut pas connaitre avec une précision infinies à la fois la "largeur" temporelle et la "largeur" spectrale.

Pour ceux d'ailleurs qui s'intéressent un peu à la mécanique quantique, le célèbre principe d'incertitude d'Heisenberg, est basé sur ce principe.

En fait, quand tu crée un choc très bref, ce qui te semble pour toi être un "Dirac", en fait est une somme infinie d'onde d'une durée éternelle! Mais tu ne les vois(ou entend) pas car elles s'annulent par interférence!

Ou est la vérité dans tout ça ?

[stefjm]

En fait, quand tu crée un choc très bref, ce qui te semble pour toi être un "Dirac", en fait est une somme infinie d'onde d'une durée éternelle! Mais tu ne les vois(ou entend) pas car elles s'annulent par interférence!

Et c'est dual!
Un signal constant en temps devient impulsionnel en fréquence.

Il faut quand même signaler que l'éternité n'est pas une notion très physique...

Ou est la vérité dans tout ça ?

Symplectique?

[mc222]

PS: Pour savoir si tu as affaire à des sinus ou des cosinus, tu as juste à retenir cela: la partie réelle d'une TF représente l'équivalent des coefficients de cosinus d'une série de Fourier tandis que sa partie imaginaire représente l'équivalent des coefficients de sinus de la série de Fourier. Je te laisse comprendre tout seul pourquoi dans le cas d'un dirac placé en f=0, on a obligatoirement un cosinus.

Salut,

Je ne vois vraiment pas. Dans les série des Fourier, les sinus et cosinus sont clairement explicités non ? J'ai l'impression qu'avec la transformée de Fourier, les fonctions sont entremèlées, peut-on vraiment parler de sinus ou cosinus ? Le fait que la somme soit continue ne brouille t'il pas un peu la nature de ses fonctions ?

Ensuite, je ne savai même pas qu'il y avait une partie réelle et une partie imaginaire obtenue apres la TF, que représentes ces deux parties ?

[mc222]

Je trouve, mc222, que tu poses de bonnes questions!

C'est quand même pas immédiat qu'un signal temporel très court, de type impulsion de Dirac soit représenté par un très très grand nombre d'ondes planes.

On peut imaginer un "paquet d'onde" avec des longueurs d'onde voisines.
Alors en dehors du paquet, les ondes vont se compenser par interférence. En augmentant, le nombre d'onde, on réduit la "largeur" du paquet.

En fait sur un paquet d'onde, on ne peut pas connaitre avec une précision infinies à la fois la "largeur" temporelle et la "largeur" spectrale.

Pour ceux d'ailleurs qui s'intéressent un peu à la mécanique quantique, le célèbre principe d'incertitude d'Heisenberg, est basé sur ce principe.

En fait, quand tu crée un choc très bref, ce qui te semble pour toi être un "Dirac", en fait est une somme infinie d'onde d'une durée éternelle! Mais tu ne les vois(ou entend) pas car elles s'annulent par interférence!

Ou est la vérité dans tout ça ?

Salut, Comment ce fait t'il que ces ondes se compensent tout le temps hors mis à t=0 ou elle s'ajoutent ?

Merci

[invitef17c7c8d]

Tout d'abord, il faut savoir apprécier les choses.
Avant de comprendre, il faut s'émerveiller.
Que la nature puisse être décrite de diverses façons, a priori si différentes, est à mon avis, une des raisons principales pour laquelle on aime la physique.

Hélas pour les physicien, pour en comprendre l'équivalence, on doit faire jouer les mathématiques. Seul cet outil incroyable, les mathématiques, permet de relier entre eux des représentations qui semblent différentes à première vue.

Maintenant, vous pouvez dessiner une fonction cosinus, puis superposer une autre fonction cosinus de période un peu plus petite, etc.. et vous regardez ce que vous obtenez.

[b@z66]

Salut,

Je ne vois vraiment pas. Dans les série des Fourier, les sinus et cosinus sont clairement explicités non ? J'ai l'impression qu'avec la transformée de Fourier, les fonctions sont entremèlées, peut-on vraiment parler de sinus ou cosinus ? Le fait que la somme soit continue ne brouille t'il pas un peu la nature de ses fonctions ?

Ensuite, je ne savai même pas qu'il y avait une partie réelle et une partie imaginaire obtenue apres la TF, que représentes ces deux parties ?

Je ne t'ai pas parler des séries de Fourier(ou justement si, pour te dire que cela ne les concernaient pas). La transformée de Fourier mêle effectivement ces deux données, sinus et cosinus(c'est exactement ce que disait mon précédent commentaire). On peut aussi plutôt parler d'exponentielles complexes(ou fonctions harmoniques complexes), il est vrai, avec la transformée de Fourier au lieu de sinus et cosinus comme avec les séries de Fourier mais cela revient strictement au même puisque ces fonctions sont reliées par la formule de Euler. Quant au fait que la transformée de Fourier est une transformation complexe donc donnant une fonction complexe, c'est dans la définition même de cette transformée. Pour ce qui est maintenant de ton interrogation sur les parties réelles et imaginaires d'une transformée de Fourier, cela prouve surtout que tu lis à moitié les réponses que l'on te donne...

[b@z66]

Salut, Comment ce fait t'il que ces ondes se compensent tout le temps hors mis à t=0 ou elle s'ajoutent ?

Merci

Je t'ai déjà donné la réponse: que vaut un cosinus en 0?

[mc222]

cela prouve surtout que tu lis à moitié les réponses que l'on te donne...

Désolé, je fais pourtant de mon mieux

Bon sinon :



(désolé j'arrive pas à faire les chapeau au dessus du f)

Ca voudrait dire que :

: est le coefficient du cosinus

: est le coefficient du sinus

Mais pourquoi le coefficient du sinus serait-il complexe ?

Ensuite, ca veut dire que le coefficient attribué à un cosinus d'un certaine fréquence est l'élément d'aire que renferme la transformée ?

Merci d'avance

[mc222]

Je t'ai déjà donné la réponse: que vaut un cosinus en 0?

Ok, ca voudrait dire que à t=0, tout les cosinus valent 1, puis en tout autre temps, il se compensent du fait de leur "déphasage" relatif ?

Un dirac est obtenu avec un spectre "constant" donc toutes les fréquences "emettent" autant ?
Donc pour que toute les fréquence se compensent mutuellement ( sauf à l'origine) il suffit de donner à chaqune le même module ?

Merci

[invitef17c7c8d]

mc222, t'es un crack!
Tu raisonnes super bien!
Un petit conseil : Au lieu de penser en termes de partie réelle et partie imaginaire, pense en termes de module et phase...

[b@z66]

Désolé, je fais pourtant de mon mieux

Bon sinon :



(désolé j'arrive pas à faire les chapeau au dessus du f)

Ca voudrait dire que :

: est le coefficient du cosinus

: est le coefficient du sinus

Mais pourquoi le coefficient du sinus serait-il complexe ?

Ensuite, ca veut dire que le coefficient attribué à un cosinus d'un certaine fréquence est l'élément d'aire que renferme la transformée ?

Merci d'avance

C'est effectivement le principe(sauf que ce que tu présentes ressemble plutôt à une transformée de Fourier inverse). Bon, il faut bien sûr partir de l'hypothèse dans ton expression que T(f) est "réel"(ce qui est en général faux, c'est f(x) qui est réel mais cela est du à ton choix de présenter une TF inverse), cela fait que les deux termes de ton équation devraient être réels sauf que le deuxième a un facteur "i"(que l'on peut facilement sortir de l'intégrale) qui fait qu'il est en réalité imaginaire pure. Après on peut en déduire des propriété remarquables comme la parité de la partie réelle d'une TF et le fait que sa partie imaginaire soit impaire par rapport à f. Enfin, ce que représente l'amplitude d'une TF ne correspond pas à l'amplitude de la fonction temporelle d'origine mais plutôt représente "une densité d'amplitude"(même principe que les densités de proba): il faut donc multiplier un morceau de cette densité d'amplitude par la taille du bout de fréquence correspondant pour obtenir la "dimension" d'une amplitude(c'est ce qui se passe normalement avec la TF inverse, T(f).dw).

[b@z66]

Ok, ca voudrait dire que à t=0, tout les cosinus valent 1, puis en tout autre temps, il se compensent du fait de leur "déphasage" relatif ?

Un dirac est obtenu avec un spectre "constant" donc toutes les fréquences "emettent" autant ?
Donc pour que toute les fréquence se compensent mutuellement ( sauf à l'origine) il suffit de donner à chaqune le même module ?

Merci

C'est tout à fait ça. Même si ce n'est pas tout à fait intuitif au départ concernant le même module pour toute les fréquences, c'est ça la principale conséquence.

[mc222]

C'est effectivement le principe(sauf que ce que tu présentes ressemble plutôt à une transformée de Fourier inverse). Bon, il faut bien sûr partir de l'hypothèse dans ton expression que T(f) est "réel"(ce qui est en général faux, c'est f(x) qui est réel mais cela est du à ton choix de présenter une TF inverse), cela fait que les deux termes de ton équation devraient être réels sauf que le deuxième a un facteur "i"(que l'on peut facilement sortir de l'intégrale) qui fait qu'il est en réalité imaginaire pure. Après on peut en déduire des propriété remarquables comme la parité de la partie réelle d'une TF et le fait que sa partie imaginaire soit impaire par rapport à f. Enfin, ce que représente l'amplitude d'une TF ne correspond pas à l'amplitude de la fonction temporelle d'origine mais plutôt représente "une densité d'amplitude"(même principe que les densités de proba): il faut donc multiplier un morceau de cette densité d'amplitude par la taille du bout de fréquence correspondant pour obtenir la "dimension" d'une amplitude(c'est ce qui se passe normalement avec la TF inverse, T(f).dw).

On peut conclure que la partie réelle d'un TF est paire car elle n'est composée que de cosinus et de même pour les sinus donc.

C'est assez remarquable en effet.

[mc222]

C'est tout à fait ça. Même si ce n'est pas tout à fait intuitif au départ concernant le même module pour toute les fréquences, c'est ça la principale conséquence.

Ok, j'arrive à peu près à m'imaginer la scène dans ce sens mais alors dans l'autre...

Comment un spectre qui présente un dirac pourrait engendre un signal temporel constant ?

Avec les mains, je n'arrive pas à cerner l'idée.

[stefjm]

Ok, j'arrive à peu près à m'imaginer la scène dans ce sens mais alors dans l'autre...

Comment un spectre qui présente un dirac pourrait engendre un signal temporel constant ?

Avec les mains, je n'arrive pas à cerner l'idée.

Si tu as un spectre en , c'est que tu n'as qu'une fréquence nulle dans ton signal, donc une constante.

Tu peux calculer la série de Fourier d'une constante (car périodique) et tu trouves un seul coefficient : a0, l'amplitude de la constante.

Il faut bien voir que temps et fréquence sont duaux.

(Il y a même des auteurs qui choisissent la TF-1 comme TF et vis-versa.)

[mc222]

Si tu as un spectre en , c'est que tu n'as qu'une fréquence nulle dans ton signal, donc une constante.

A oui ok, donc si la fréquence est nulle, il faudrait aller chercher à l'infinit pour trouver une période en gros ?

[stefjm]

A oui ok, donc si la fréquence est nulle, il faudrait aller chercher à l'infinit pour trouver une période en gros ?

C'est l'idée.
T=1/f

Pour un signal constant, tout T0 non nul est période.
x(t+T0)=x(t) quelque soit t.

[b@z66]

On peut conclure que la partie réelle d'un TF est paire car elle n'est composée que de cosinus et de même pour les sinus donc.

C'est assez remarquable en effet.

Non, pas vraiment mais tu peux le démontrer toi-même, ce n'est pas très compliqué. En réalité, un cosinus(du type Acoswt) peut se représenter par (Ae^j-wt+Ae^jwt)/2, on assimile ça à une raie d'amplitude A à la fréquence -w et une autre de même amplitude à la fréquence +w, le spectre de ce cosinus est donc pair. De même, un sinus(Asinwt) peut se représenter par (Ae^jwt- Ae^j-wt)/2, on assimile ça à une raie d'amplitude A en +w et une raie d'amplitude opposée en -w, le spectre de ce sinus est donc impair. Comme la transformée de Fourier ne fait que décomposer des fonctions suivant ces exponentielles complexes(par extension, suivant également les cosinus et sinus), on retrouve ces propriétés de (im)parité sur les parties imaginaire et réelle d'une TF.

[phuphus]

Donc pour que toute les fréquence se compensent mutuellement ( sauf à l'origine) il suffit de donner à chaqune le même module ?

Pas tout à fait...

Un bruit blanc et un Dirac ont tous deux le même spectre en amplitude : même module pour toutes les fréquences. Pour différencier les deux, il manque une petite condition...

[invitef17c7c8d]

Un bruit blanc et un Dirac ont tous deux le même spectre en amplitude : même module pour toutes les fréquences. Pour différencier les deux, il manque une petite condition...

C'est un point très important que souligne là phuphus.
Tout le monde arrive à se représenter à peu près un dirac ou une impulsion.
Un bruit blanc est une fonction aléatoire du temps. A chaque instant t, la valeur du bruit ne dépend pas du passé.
Et pourtant ces deux fonctions ont le même spectre fréquentiel (en amplitude)

Curieux non?

[b@z66]

C'est un point très important que souligne là phuphus.
Tout le monde arrive à se représenter à peu près un dirac ou une impulsion.
Un bruit blanc est une fonction aléatoire du temps. A chaque instant t, la valeur du bruit ne dépend pas du passé.
Et pourtant ces deux fonctions ont le même spectre fréquentiel (en amplitude)

Curieux non?

Effectivement, mais ce n'est quand même pas tout à fait le même spectre globalement puisque dans le cas du bruit blanc, la phase(ou l'argument si on raisonne en complexe) de la transformée de Fourier peut varier complètement différement suivant les fréquences. En conséquence, un dirac tout seul est un cas vraiment particulier et vraiment spécial de bruit blanc(sa phase, ou argument, est nulle pour toutes les fréquences) puisque ce bruit se caractérise par sa fonction d'auto-corrélation d'un temps égal à -infini jusqu'à un temps égal a +infini. Ceci peut en l'occurrence poser problème de considérer ainsi une simple impulsion de la même façon qu'un bruit dont les caractéristiques ne change pas en fonction du temps: des outils comme la transformée de Fourier à fenêtre glissante ou la transformée par ondelettes doivent sans doute aider à mieux discerner les choses.

[phuphus]

Ceci peut en l'occurrence poser problème de considérer ainsi une simple impulsion de la même façon qu'un bruit dont les caractéristiques ne change pas en fonction du temps: des outils comme la transformée de Fourier à fenêtre glissante ou la transformée par ondelettes doivent sans doute aider à mieux discerner les choses.

En effet, les caractéristiques d'un bruit blanc sont statistiquement stables, mais instantanément perpétuellement changeantes. Et c'est bien une condition sur la phase qu'il faut rajouter pour différencier Dirac et bruit blanc, comme tu le soulignes.

Par contre, je n'ai jamais eu de problème à manipuler soit le Dirac soit le bruit blanc pour mesurer des fonctions de transfert ou des réponses impulsionnelles. On peut parfaitement remonter à une RI à partir d'une excitation MLS (type particulier de bruit blanc), par exemple.

[invitef17c7c8d]

Toujours dans la lignée des propos de phuphus, compliquons un peu les choses.
Je créé un choc en un point, mais au lieu de regarder son spectre au même point, je regarde ce qui se passe un peu plus loin...

Si vous comprenez comment les choses se passent, mc222, les fonctions de Green et autre méthode de Green n'auront plus de mystère pour vous ...

Ça vaut la peine de se casser un peu la tête dessus, non ....