Réciproque d'une application bijective

[invite2ec0a62b]

Bonsoir,
l'énoncé d'un exo est le suivant
soient E un ensemble et A et B deux parties de E
on considère l'application f:P(E) --> P(A)croixP(B)
X -->(XnA,XnB)
1)montrer que f injective ssi AnB=l'ensemble vide
2)montrer que f injective ssi AUB=E
3)donner une cns pr que f soit bijective, exprimer alors pour tout (X,Y) appartenant a P(A)croixP(B)
j'ai répondu a toutes les questions sauf la derniere, en effet je n'arrive pas a explicité
la cns pr que f soit bijective est que AnB=l'ensemble vide et AUB=E
Soit (Y1,Y2) appartenant à P(A)croixP(B) et X appartenant a P(E)
On a f(X)=(Y1,Y2) n'est pas équivaut à Y1UY2=(XnA)U(XnB)=X
alors que pr résoudre l'équation f(X)=(Y1,Y2) il faut procéder avec des équivalences
Pouvez vous m'éclaircir sur ce pt ??
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[inviteea028771]

On a .

Ça se trouve assez facilement en faisant un dessin, ou en se rendant compte que f(X) coupe en deux parties l'ensemble X. L'opération inverse consiste alors à "recoller" ces deux parties.

Reste à montrer que f^{-1} est bien de la forme donnée plus haut (on peut par exemple calculer )

[invite2ec0a62b]

On a f(X)=(Y1,Y2) implique X=Y1UY2 je suis d'accord
mais f(Y1UY2) n'est pas égale a (Y1,Y2) !!

[invite2ec0a62b]

Ah oui je vois mnt.
En fait (Y1UY2)nA=(Y1nA)U(Y2nA) or Y1 est inclus dans A dc (Y1nA)=Y1 et Y2 est inclus dans B et AnB=l'ensemble vide dc Y2nA = l'ensemble vide d'ou (Y1UY2)nA=Y1
de meme pr le deuxième terme du couple !!

[A voir en vidéo sur Futura]