Expression d'une suite complexe
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Expression d'une suite complexe



  1. #1
    Lechero

    Expression d'une suite complexe


    ------

    Bonsoir à tous !

    Pourriez-vous m'aider ? Je bloque sur une question qui parait toute bête...

    J'ai une suite, qui a tout n entier naturel associe le complexe , de premier terme et où a est aussi un nombre complexe.

    Je dois exprimer en fonction de n, mais je bloque... J'ai calculé les 4 premiers termes (z1 = i, z2 = ia+i, z3 = ia²+ia+i et z4 = ia^3 + ia² + ia + i), mais ça ne m'aide pas trop...

    Merci d'avance !

    -----
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  2. #2
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Je trouve : , vous pensez que c'est juste ?
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  3. #3
    La Chouette Rieuse

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonsoir,

    Les vraies questions sont :
    1/ Est-ce que TU penses que c'est juste ?
    2/ Est-ce que tu peux le prouver.

    Personnellement, je pense que c'est juste, et je peux même le prouver !

  4. #4
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonsoir,

    oui je pense que c'est juste, et je peux le prouver (en développant la somme par exemple pour les 4 premiers termes).

    Mais en fait je veux être absolument sûr car la suite de mon exo a l'air bien compliquée et donc je veux me "rassurer" pour le début ^^
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Duke Alchemist

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonsoir.

    Ton expression est correcte mais tu peux la réécrire un peu plus joliment.
    Si tu factorises par i ta somme, ne vois-tu pas la somme d'un terme particulier ?
     Cliquez pour afficher


    Duke.

  7. #6
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonsoir,

    factoriser par i la somme, cad : ? Il n'y aurait pas une histoire de racine n-ième? (j'aime pô les racines n-ièmes... ^^)
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  8. #7
    Tryss

    Re : Expression d'une suite complexe

    C'est une simple suite géométrique...

    J’espère que tu connais la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

     Cliquez pour afficher

  9. #8
    La Chouette Rieuse

    Re : Expression d'une suite complexe

    Enfin, c'est surtout pour ...

  10. #9
    Duke Alchemist

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonjour.
    Citation Envoyé par La Chouette Rieuse Voir le message
    Enfin, c'est surtout pour ...
    Bien entendu.

    Mais l'expression de zn en fonction de n pour a=1 n'est pas trop difficile à établir

    Duke.

  11. #10
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonjour à tous, et merci pour vos réponses !

    Alors, pour Zn, je trouve :

    On me demande d'étudier les cas a = 1 et a = -1
    Pour a = 1, Zn= n*i
    Pour a = -1, Zn = i

    Est-ce tout juste pour le moment ?

    Ensuite, on me demande si deux termes de la suite Zn d'indices différents peuvent être égaux.

    Je veux donc faire avec k1 et k2 deux indices différents, mais je ne sais pas si c'est la bonne solution ...
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  12. #11
    Duke Alchemist

    Re : Expression d'une suite complexe

    Re-
    Citation Envoyé par Lechero Voir le message
    On me demande d'étudier les cas a = 1 et a = -1
    Pour a = 1, Zn= n*i
    Pour a = -1, Zn = i

    Est-ce tout juste pour le moment ?
    Je ne suis pas tout à fait d'accord avec la réponse pour a=-1. Il y a deux cas en fait
     Cliquez pour afficher


    Ensuite, on me demande si deux termes de la suite Zn d'indices différents peuvent être égaux.

    Je veux donc faire avec k1 et k2 deux indices différents, mais je ne sais pas si c'est la bonne solution ...
    Le cas a=1 est trivial.
    Le cas a=-1 l'est tout autant (en faisant attention à l'étude de cas indiqué ci-dessus)
    Le cas général n'est pas bien dur. Tu peux tenter la démo par l'absurde par exemple.

    Duke.

  13. #12
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonjour,

    et oui, je ne suis pas d'accord avec moi-même non plus pour le cas a=-1 ^^ Zn=0 pour n pair, et Zn=i pour n impair.

    Ensuite, pour l'égalité des deux termes :
    pour a=1, c'est impossible;
    pour a=-1, les termes d'indice pair sont égaux, idem pour ceux qui sont d'indice impair;
    mais pour a quelconque (différent de 0 bien sûr), je ne vois pas comment l'absurde peut m'aider. Je démarre en partant : "Montrons par l'absurde que pour tout n et k entiers naturels, zn=zk est impossible" ? Parce que je pensais qu'il fallait au contraire montrer que c'était possible, la question d'après étant "Dans l'affirmative, montrer que la suite est périodique"
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  14. #13
    Tryss

    Re : Expression d'une suite complexe

    edit : mal lu -_-'

  15. #14
    Duke Alchemist

    Re : Expression d'une suite complexe

    Citation Envoyé par Lechero Voir le message
    Ensuite, on me demande si deux termes de la suite Zn d'indices différents peuvent être égaux.

    Je veux donc faire avec k1 et k2 deux indices différents, mais je ne sais pas si c'est la bonne solution ...
    C'était ce à quoi je pensais

    Tu pars de cette affirmation et tu aboutis normalement à la contradiction puisque tu obtiens k1=k2 d'où le côté "absurde"... (Je me mélange peut-être dans les termes...)

    Duke.

  16. #15
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    par l'absurde :

    soient zb et zc deux termes de la suite d'indices respectifs b et c.

    zb=zc (=) i(1-ab)=i(1-ac) (j'ai multiplié de part et d'autre par (1-a) )
    (=) 1-ab=1-ac (=) ab=ac (=) b=c en passant par l'exp et le log

    donc pour a complexe non nul et différent de 1 et -1, deux termes d'indices différents de la suite ne peuvent être égaux

    c'est juste ?
    Dernière modification par Lechero ; 15/10/2011 à 13h57.
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  17. #16
    Tryss

    Re : Expression d'une suite complexe

    Actuellement, deux termes de la suite peuvent être égaux...

    Par exemple avec

    alors mais on a aussi :


    La suite est périodique si et seulement si est une suite périodique, c'est à dire que a est une puissance k-ième de l'unité (différente de 1).

    Au passage, passer par le logarithme avec les complexes est dangereux, il faut faire très attention (la preuve ici tu obtiens un résultat faux)

  18. #17
    Duke Alchemist

    Re : Expression d'une suite complexe

    Re-

    Lechero a bien dit qu'il n'aimait pas les racines n-ièmes de l'unité...

    Bon, je m'incline face à Tryss... J'ai fait la même bourde que Lechero
    Je crois aussi que je suis parti du fait que a était réel et non complexe...


    Duke.

  19. #18
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Lechero a bien dit qu'il n'aimait pas les racines n-ièmes de l'unité...
    Oui... =( Mais du coup je vais être obligé de m'en servir apparemment... Le problème c'est que je n'ai rien compris à la démo de Tryss (désolé ^^)
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  20. #19
    Tryss

    Re : Expression d'une suite complexe

    Citation Envoyé par Lechero Voir le message
    Oui... =( Mais du coup je vais être obligé de m'en servir apparemment... Le problème c'est que je n'ai rien compris à la démo de Tryss (désolé ^^)
    Je n'ai pas fait de démonstration, j'ai affirmé sans preuve.

    Enfin ça se fait assez bien :

    Soit a différent de 1,




    Ainsi si et seulement si a est une racine n-m ième de l'unité

  21. #20
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Bonjour, et merci ! =)

    Cette nuit je suis arrivé jusqu'à , mais je n'ai pas pensé à dire que a devait être une racine (n-m)ième de l'unité !

    Vous êtes des génies (Tryss un peu plus que Duke ) !!
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  22. #21
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    Et donc a est de la forme ? Mais que représenterait le k ici ?
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

  23. #22
    Lechero

    Re : Expression d'une suite complexe

    C'est bon, j'ai tout fait ! Merci à tous !

    Juste une dernière question : je dois prouver que , je pense qu'il faut faire une récurrence.
    Pour l'initialisation, pas de problème.
    Mais pour le pas de récurrence, je bug totalement depuis 1h... Pourriez-vous m'indiquer le bon chemin ?

    Merci encore =)
    A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire (Corneille).

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