Expression d'une suite complexe

invite48ca7510 · 14/10/2011, 21h37

Bonsoir à tous !

Pourriez-vous m'aider ? Je bloque sur une question qui parait toute bête...

J'ai une suite, qui a tout n entier naturel associe le complexe $\text{[math]}$ , de premier terme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ où a est aussi un nombre complexe.

Je dois exprimer $\text{[math]}$ en fonction de n, mais je bloque... J'ai calculé les 4 premiers termes (z1 = i, z2 = ia+i, z3 = ia²+ia+i et z4 = ia^3 + ia² + ia + i), mais ça ne m'aide pas trop...

Merci d'avance !

invite48ca7510 · 14/10/2011, 21h55

Je trouve : $\text{[math]}$ , vous pensez que c'est juste ?

invite6a2167ab · 14/10/2011, 21h57

Bonsoir,

Les vraies questions sont :
1/ Est-ce que TU penses que c'est juste ?
2/ Est-ce que tu peux le prouver.

Personnellement, je pense que c'est juste, et je peux même le prouver !

invite48ca7510 · 14/10/2011, 22h11

Bonsoir,

oui je pense que c'est juste, et je peux le prouver (en développant la somme par exemple pour les 4 premiers termes).

Mais en fait je veux être absolument sûr car la suite de mon exo a l'air bien compliquée et donc je veux me "rassurer" pour le début ^^

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Duke Alchemist** · 14/10/2011, 22h20

Bonsoir.

Ton expression est correcte mais tu peux la réécrire un peu plus joliment.
Si tu factorises par i ta somme, ne vois-tu pas la somme d'un terme particulier ?

Cliquez pour afficher

Duke.

invite48ca7510 · 14/10/2011, 22h36

Bonsoir,

factoriser par i la somme, cad : $\text{[math]}$ ? Il n'y aurait pas une histoire de racine n-ième? (j'aime pô les racines n-ièmes... ^^)

inviteea028771 · 14/10/2011, 23h31

C'est une simple suite géométrique...

J’espère que tu connais la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Cliquez pour afficher

invite6a2167ab · 14/10/2011, 23h36

Enfin, c'est surtout pour $\text{[math]}$ ...

**Duke Alchemist** · 15/10/2011, 09h03

Bonjour.

Envoyé par La Chouette Rieuse

Enfin, c'est surtout pour $\text{[math]}$ ...

Bien entendu.

Mais l'expression de z_n en fonction de n pour a=1 n'est pas trop difficile à établir

Duke.

invite48ca7510 · 15/10/2011, 12h19

Bonjour à tous, et merci pour vos réponses !

Alors, pour Zn, je trouve : $\text{[math]}$

On me demande d'étudier les cas a = 1 et a = -1
Pour a = 1, Zn= n*i
Pour a = -1, Zn = i

Est-ce tout juste pour le moment ?

Ensuite, on me demande si deux termes de la suite Zn d'indices différents peuvent être égaux.

Je veux donc faire $\text{[math]}$ avec k1 et k2 deux indices différents, mais je ne sais pas si c'est la bonne solution ...

**Duke Alchemist** · 15/10/2011, 12h33

Re-

Envoyé par Lechero

On me demande d'étudier les cas a = 1 et a = -1
Pour a = 1, Zn= n*i
Pour a = -1, Zn = i

Est-ce tout juste pour le moment ?

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec la réponse pour a=-1. Il y a deux cas en fait

Cliquez pour afficher

Ensuite, on me demande si deux termes de la suite Zn d'indices différents peuvent être égaux.

Je veux donc faire $\text{[math]}$ avec k1 et k2 deux indices différents, mais je ne sais pas si c'est la bonne solution ...

Le cas a=1 est trivial.
Le cas a=-1 l'est tout autant (en faisant attention à l'étude de cas indiqué ci-dessus)
Le cas général n'est pas bien dur. Tu peux tenter la démo par l'absurde par exemple.

Duke.

invite48ca7510 · 15/10/2011, 12h59

Bonjour,

et oui, je ne suis pas d'accord avec moi-même non plus pour le cas a=-1 ^^ Zn=0 pour n pair, et Zn=i pour n impair.

Ensuite, pour l'égalité des deux termes :
pour a=1, c'est impossible;
pour a=-1, les termes d'indice pair sont égaux, idem pour ceux qui sont d'indice impair;
mais pour a quelconque (différent de 0 bien sûr), je ne vois pas comment l'absurde peut m'aider. Je démarre en partant : "Montrons par l'absurde que pour tout n et k entiers naturels, zn=zk est impossible" ? Parce que je pensais qu'il fallait au contraire montrer que c'était possible, la question d'après étant "Dans l'affirmative, montrer que la suite est périodique"

inviteea028771 · 15/10/2011, 13h08

edit : mal lu -_-'

**Duke Alchemist** · 15/10/2011, 13h50

Envoyé par Lechero

Ensuite, on me demande si deux termes de la suite Zn d'indices différents peuvent être égaux.

Je veux donc faire $\text{[math]}$ avec k1 et k2 deux indices différents, mais je ne sais pas si c'est la bonne solution ...

C'était ce à quoi je pensais

Tu pars de cette affirmation et tu aboutis normalement à la contradiction puisque tu obtiens k₁=k₂ d'où le côté "absurde"... (Je me mélange peut-être dans les termes...)

Duke.

invite48ca7510 · 15/10/2011, 13h53

par l'absurde :

soient z_b et z_c deux termes de la suite d'indices respectifs b et c.

z_b=z_c (=) i(1-a^b)=i(1-a^c) (j'ai multiplié de part et d'autre par (1-a) )
(=) 1-a^b=1-a^c (=) a^b=a^c (=) b=c en passant par l'exp et le log

donc pour a complexe non nul et différent de 1 et -1, deux termes d'indices différents de la suite ne peuvent être égaux

c'est juste ?

inviteea028771 · 15/10/2011, 14h11

Actuellement, deux termes de la suite peuvent être égaux...

Par exemple avec $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$ mais on a aussi :
$\text{[math]}$

La suite $\text{[math]}$ est périodique si et seulement si $\text{[math]}$ est une suite périodique, c'est à dire que a est une puissance k-ième de l'unité (différente de 1).

Au passage, passer par le logarithme avec les complexes est dangereux, il faut faire très attention (la preuve ici tu obtiens un résultat faux)

**Duke Alchemist** · 15/10/2011, 16h15

Re-

Lechero a bien dit qu'il n'aimait pas les racines n-ièmes de l'unité...

Bon, je m'incline face à Tryss... J'ai fait la même bourde que Lechero
Je crois aussi que je suis parti du fait que a était réel et non complexe...

Duke.

invite48ca7510 · 15/10/2011, 16h59

Envoyé par Duke Alchemist

Lechero a bien dit qu'il n'aimait pas les racines n-ièmes de l'unité...

Oui... =( Mais du coup je vais être obligé de m'en servir apparemment... Le problème c'est que je n'ai rien compris à la démo de Tryss (désolé ^^)

inviteea028771 · 16/10/2011, 07h41

Envoyé par Lechero

Oui... =( Mais du coup je vais être obligé de m'en servir apparemment... Le problème c'est que je n'ai rien compris à la démo de Tryss (désolé ^^)

Je n'ai pas fait de démonstration, j'ai affirmé sans preuve.

Enfin ça se fait assez bien :

Soit a différent de 1,
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ainsi $\text{[math]}$ si et seulement si a est une racine n-m ième de l'unité

invite48ca7510 · 16/10/2011, 09h40

Bonjour, et merci ! =)

Cette nuit je suis arrivé jusqu'à $\text{[math]}$ , mais je n'ai pas pensé à dire que a devait être une racine (n-m)ième de l'unité !

Vous êtes des génies (Tryss un peu plus que Duke

) !!

invite48ca7510 · 16/10/2011, 10h01

Et donc a est de la forme $\text{[math]}$ ? Mais que représenterait le k ici ?

invite48ca7510 · 16/10/2011, 17h46

C'est bon, j'ai tout fait ! Merci à tous !

Juste une dernière question : je dois prouver que $\text{[math]}$ , je pense qu'il faut faire une récurrence.
Pour l'initialisation, pas de problème.
Mais pour le pas de récurrence, je bug totalement depuis 1h... Pourriez-vous m'indiquer le bon chemin ?

Merci encore =)

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