Montrer que tout n>1 admet un diviseur premier

[invite2ec0a62b]

Bonjour,
je voudrai montrer par récurrence forte que tout n>1 admet un diviseur premier, pouvez vous me donner un indice..
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[invite4492c379]

Hello,

je dirais ...
* c'est vrai pour 2 car 2 est premier
* on suppose que c'est vrai pour tout entier m<=n
soit n+1 est premier => OK
soit n+1 est composé, il esiste donc d<n+1 tel que d|n or d<n+1, donc ...

[leon1789]

Si on ne veut pas faire de récurrence, alors on peut justifier directement que le plus petit diviseur p>1 de n est un nombre premier.

[invite2ec0a62b]

le d dont vou parlez est un nombre premier, n'est ce pas ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4492c379]

non, juste un nombre strictement plus petit que n+1

[invite2ec0a62b]

et pq il divise n ?

[invite4492c379]

pq ?

que sont p et q ?

[invite2ec0a62b]

je ne vois vraiment pas de quoi vous parlez, quel q et quel p? on ne possède qu un m<= n qu'on peut fixer et tel qu'il soit divisible par un nombre premier

[invite2ec0a62b]

ah vs parlez des propositions de l'implicatio à démontrer ??

[invite4492c379]

non ... ma faute ... pq = pourquoi ...
je n'avais pas compris ...

si n est composé il a un facteur d qui est plus petit que lui.

maintenant si on voit d<n+1 et récurrence normalement ça doit faire tilt

[invite2ec0a62b]

je ne vois tjrs pas pq ce quelconque d < n+1 divise n

[invite4492c379]

car soit n+1 est premier et le cas est réglé
soit il ne l'est pas et donc il existe d ...

[invite2ec0a62b]

ah vous conidérez un d qui divise n, et donc il est nécessairement strictement plus petit que n+1, c ca ??

[invite2ec0a62b]

je vois la chose comme ça :
n+1 composé dc il exixte un d différent de 0 et de n+1 tq d\n+1

[invite2ec0a62b]

plutot d différent de 1 et de n+1

[invite4492c379]

je vois la chose comme ça :
n+1 composé dc il exixte un d différent de 0 et de n+1 tq d\n+1

oui, on sait aussi que d>1

[invite2ec0a62b]

ahh!
d<n+1 dc d<=n dc d admet un diviseur premier, d'ou n+1 admet un diviseur premier!!
je vous remercie

[invite4492c379]

de rien