Bonjour, à toutes et à tous !
Voilà, j'étudie le chapitre sur la réduction d'endomorphisme et plus particulièrement le trigonalisation.
J'ai deux questions à vous poser, en espérant que vous pourrez m'aider.
1) Logiquement, si le polynome caractéristique est scindé alors la matrice est trigonalisable. Si en plus, la multiplicité algébrique est égal à la multiplicité géométrique, elle est diagonalisable. Donc on peut dire qu'une diagonalisation est une trigonalisation particulière.(n'est ce pas ?)
2) Lors d'une trigonalisation, mon problème ce sont les coefficients. On m'a montré une méthode pour les déterminer (sans faire un choix arbitraire).
Je sais l'appliquer mais je ne la comprend pas. Pouvez vous me l'expliquer ?
Pour cela, je prend un exemple.
Polynôme caractéristique :
-(X-2)²(X-1)
Le polynôme est scindé donc trigonalisable (1 est une valeur propre simple et 2 est valeur propre double)
Vecteur propre de 1 : (je ne met que le résultat car ce n'est pas important)
Ma(1)=mg(1)
Vecteur propre de 2:
en déduit que z=0; et donc un vecteur propre est:
Ici, on ma(2) qui est différent de mg(2)=> pas diagonalisable mais toujours triogonalisable.
Le problème c'est que l'on a deux vecteurs colonnes alors que la matrice de départ en a 3; on rajout donc un vecteur colonne ARBITRAIREMENT pour qu'il constitue une base avec les deux autres. Bon raisonnement ?
On choisit un simple :
La matrice de passage est donc :
J'écris donc la matrice semblable T:
Ici, on me dit que la meilleure trigonalisation est la diagonalisation donc on prend a=0; mais pas b et c. Pourquoi ? (car sinon elle serait diagonalisable ?).
Maintenant, l'étape qui suit je ne la comprend vraiment pas:
de cette expression, on en déduit que b=1 et c=1.
D'où la matrice semblable :
Comment a été obtenu cette égalité ?
J'ai vérifié ce résultat (A=PTP^-1) et c'est juste.
Merci d'avance.
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