bonsoir à tous, voila je suis bloqué sur un exercice. Ou plus exactement je ne comprend pas du tout ce que je dois faire...si vous pouviez m'aider
soit A un ensemble, P(A) l'ensemble de parties de A
Soit S un ensemble à 2 éléments. Montrez qu'il existe une bijection Hom(A,S)-->P(A) ou Hom(A,S) désigne l'ensemble des appli de A->S
Bonsoir,
Indication : pour définir un sous ensemble de A, il faut et il suffit de dire pour chaque élément de A si il est ou non dans le sous-ensemble.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
ce que je comprends pas c'est Hom(A,S)-->P(A) je vois pas du tout ce que c'est...
Bonjour,
Prenez pour S l'ensemble {0,1}. Vous cherchez à montrer qu'il y a une bijection entre Hom(A,{0,1}) et P(A), ce n'est pas spécialement cette fonction qui est intéressante, c'est surtout le fait qu'à chaque élément de Hom(A,{0,1}) il y a une méthode qui permet d'associer un et un seul élément de P(A) (et réciproquement).
Ou encore que si vous avez une fonction f définie sur A qui pour x∈A f(x)=0 ou f(x)=1 alors vous pouvez définir de manière biunivoque une partie de A, c'est à dire un ensemble d'éléments x∈A...
hom(A,S) cest un ensemble de fonction non? il faut defnir P(A) comme des fonctions alors?
désolé pour le double post...si on prend g l'application en hom(A,S)et P(A) et si on prend P(A)={xEA|gof(x)=x} ça marche non?
Fait bien attention aux objets que tu manipules...
Ici tu dis que l'ensemble des parties de A est égal à une partie de A. Ça ne peux pas être possible.
De plus, g est à valeur dans S, donc peu importe ta fonction f, gof(x) ne peut absolument pas être égal à x (puisque x n'appartient pas à S).
Ici il faut trouver une fonction f telle que pour toute application g : A -> S, on ai :
f(g) = { x dans A | ... }
Et que f soit une bijection.
Je rajoute une petite remarque. Il faut bien comprendre que f(g) n'a rien à voir avec un fog qui n'est ici absolument pas défini. f(g) est l'image de g (un élément de hom(A,S)) par la fonction f. Cette image est une partie de A.Envoyé par Tryss
Pour définir une partie de A en disant quels sont les éléments de A qui appartiennent à cette partie. On dit pour chaque élément x de A s'il appartient ou pas à la partie qu'on veut définir à l'aide de g.
Ou encore pour x dans A on peut poser x∈f(g) si et seulement si ... [Une propriété qui découle de x et de g]
il faut que f aille de S dans P(A) mais à part ça je vois vraiment pas comment construire cette fonction f bijective...
Non, f va de Hom(A,S) dans P(A)...
Les éléments de l'ensemble de départ sont des fonctions, et les éléments de l'ensemble d'arrivée sont des ensembles.
Ici le plus dur c'est de bien comprendre ce que l'on manipule.
je sais pas si c'est moi ou quoi mais j'arrive vraiment pas à comprendre cet exercice...Il faut d'abord definir P(A) pour pouvoir exprimer f ou en gardant P(A) l'ensemble des partie de A on peut trouver f?
Ce n'est pas la fonction f qui a de l'intérêt. Du moins pas au moment de sa construction. Vous avez une fonction g qui va de A dans {0,1}, définissez une partie de A à partir de cette fonction g.
Cessez de vous plaindre, prenez un papier et un crayon et voyez à quel point c'est beaucoup plus évident que ce que vous ne pensez que c'est.
L'idée de base de l'exercice est "comment définir une partie de A?"
Pour définir une partie de A, il suffit de prendre chaque élément de A, et de dire si il appartient à cette partie ou non.
Ne vois tu pas un rapport entre une fonction g de A dans S un ensemble à 2 éléments et une partie de A? Pour t'aider, on peut dire que S={oui, non}, alors pour chaque x dans A, on a :
g(x) = oui ou g(x) = non
Ne vois tu pas un moyen simple d'associer une telle fonction g avec une partie de A?
on prend B une partie de A ou B={xEA|g(x)=oui} ?
C'est l'idée
Donc ta fonction f pourrait être :
f : Hom(A,{0,1}) -> P(A)
f(g) = {x dans A | g(x) = 1 }
Reste à montrer qu'il s'agit d'une bijection
pour la bijection: l'injection vient du fait que si g1,g2 E Hom(A,S) et g1 different de g2 alors par exemple g1(x)=0 et g2(x)=1 ou l'inverse donc f(g1) est different de f(g2)=B. Et la surjection est evidente si Hom (A,S) est non vide non?
Non, ce n'est pas parce que Hom(A,S) n'est pas vide que la fonction est surjective. Si vous avez un doute sur le fait que c'est évident, alors c'est que ce n'est pas évident, non ?
Montrez que la fonction est surjective en revenant à la définition de la surjectivité. Pour B une partie de A quelconque, montrez qu'il existe g∈Hom(A,S) telle que f(g)=B.
Par la construction de f, ce n'est pas très difficile de reconstruire une fonction g à partir de la partie B, mais il faut quand même le faire.
Pour l'injectivité, encore une fois on revient à la définition. Pour g1, g2 dans Hom(A,S) telles que f(g1)=f(g2), montrez qu'alors g1=g2.
Encore une fois c'est trivial, mais il faut quand même le faire.
