Suite récurrente

[sknbernoussi]

l'énoncé d'un exo est le suivant
soit (Pn) une suite tq P₀=1 et P₁=X et pr tout n appartenant à N : P_n+2=2XP_n+1-P_n
montrer que
P_n est un polynome ( je l'ai fait par récurrence double),
préciser son degré (pr cela j'ai montré par récurrence double que pour tout n appartenant a N d°P_n+1=d°P_n+1 et dc d°P_n est une suite arithmétique)
préciser son coefficient dominant : là je bloque , en fait j'ai l'impression que c'est pour tous les P_n tq n>=1 mais je n'arrive pas à le prouver, j'ai essayé de prouver que cdP_n est une suite géométrique mais je n'ai pas pu.
Pouvez vous me donner un indice ??
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[phys4]

l'énoncé d'un exo est le suivant
soit (Pn) une suite tq P₀=1 et P₁=X et pr tout n appartenant à N : P_n+2=2XP_n+1-P_n
montrer que
P_n est un polynome ( je l'ai fait par récurrence double),
préciser son degré (pr cela j'ai montré par récurrence double que pour tout n appartenant a N d°P_n+1=d°P_n+1 et dc d°P_n est une suite arithmétique)
préciser son coefficient dominant : là je bloque , en fait j'ai l'impression que c'est pour tous les P_n tq n>=1 mais je n'arrive pas à le prouver, j'ai essayé de prouver que cdP_n est une suite géométrique mais je n'ai pas pu.
Pouvez vous me donner un indice ??

Bonjour,
Cette suite de polynômes me rappelle un certain Legendre.

Pour le coefficient de plus haut degré, nous voyons que, par récurrence, il provient du terme 2x P_n+1, le second terme en P_n, ne peut le modifier puisqu'il est de degré inférieur, ce qui prouve en même temps que le polynome Pn est de degré n et que son coefficient vaut



Voue étiez tout près de la réponse, sans oser conclure.