Petit exo sur la densité.

[invite2ec0a62b]

Bonsoir,
l'énoncé d'un exo est le suivant
Soit . Montrer que A est dense dans
Pouvez vous me donner des indices ?
Remarque : A est un ensemble, les accolades ne veulent pas paraitre en latex
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[invite899aa2b3]

Prend un dans . Tu peux trouver une suite de rationnels qui converge vers . Que dire de la suite des ?

(concernant les accolades, il faut mettre un antislash devant)

[invite705d0470]

Bonsoir,
le résultat recherché ne peut il pas simplement découler de la densité de dans , en "remarquant" que ?

Sinon, comment trouver une telle suite de rationnelle ? (je suis juste très curieux )
Est ce que celà revient à construire un ensemble tel que ?

Amicalement,

Snowey.

[Tiky]

Girdav a répondu à la question. Cela découle de la densité des rationnels dans les réels et de la continuité et de la bijectivité de la fonction .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

De manière plus générale, l'image d'un dense par une fonction continue surjective est dense.

[invite986312212]

et si la fonction est surjective mais non continue?

[invitee27a8b07]

Bonsoir,
le résultat recherché ne peut il pas simplement découler de la densité de dans , en "remarquant" que ?

L'ensemble vide est inclus dans , mais ça ne me permet pas de conclure...

[invite705d0470]

Oups désolé :/

[invitee27a8b07]

Pas grave, on apprend de ses erreurs

[inviteaf48d29f]

et si la fonction est surjective mais non continue?

Dans ce cas on ne peut pas conclure. Contre exemple :

Comme ℝ\ℚ a la puissance du continue je considère une fonction g : ℝ\ℚ → ℝ bijective (il en existe) et je construis la fonction f : ℝ → ℝ telle que
f(x)=g(x) si x∈ℝ\ℚ
f(x)=0 si x∈ℚ

Cette fonction est surjective car ℝ=g(ℝ\ℚ)⊂f(ℝ) pourtant ℚ est dense et f(ℚ)={0} qui n'est pas dense.