Nombre de points d'un segment

[kaderben]

Bonjour
J'ai lu un livre de David Foster Wallce sur les infinis.
Il évoque le nombre de points d'un segment.
Soit ABC un triangle rectangle en A. Donc CB > AB
Par P sur [CB], menons la paralelle à [AC] qui coupe [AB] en Q. Cela veut dire que tout point de [BC] a son correspondant sur [AB].
On peut conclure que le nombre de points de [AB] et [BC] sont égaux.
Gödel a démontré cela mathématiquement en considérant q'un point mathématique n'a pas de dimensions.

On sait qu’une droite est un ensemble de points alignés.
1°) Une remarque naïve de ma part : pourquoi une succession de points invisibles donnent une droite visible !

2°) Si on considère des points physiques de diamètre d, et soit n = nbr de points sur [AB] et
m= nbr de points sur [BC], alors n = AB/d et m = BC/d

Si d tend ver 0 alors limit n = infini (1) et limit m = infini (2)
Gödel dit qu’il y a des infinis plus grands que d’autres, donc infini (1) < infini (2), c’est à dire n < m
Encore quelque chose naïve de ma part.
Vos commentaires SVP.
Merci
-----

[invite986312212]

Bonjour
J'ai lu un livre de David Foster Wallce sur les infinis.
Il évoque le nombre de points d'un segment.
Soit ABC un triangle rectangle en A. Donc CB > AB
Par P sur [CB], menons la paralelle à [AC] qui coupe [AB] en Q. Cela veut dire que tout point de [BC] a son correspondant sur [AB].
On peut conclure que le nombre de points de [AB] et [BC] sont égaux.

en somme il a défini une bijection entre les deux segments. Les deux segments ont même cardinal, et il y a pire: le triangle (la surface) a encore le même cardinal! et le plan tout entier a lui aussi le même cardinal.

1°) Une remarque naïve de ma part : pourquoi une succession de points invisibles donnent une droite visible !

la notion de visibilité n'appartenant pas à la géométrie il n'y a pas de réponse à ta question.

Gödel dit qu’il y a des infinis plus grands que d’autres, donc

ça serait pas plutôt Cantor?

[kaderben]

Oui, c'est Cantor et non Gödel.
J'ai vu une demonstration sur internet, ça se passe au niveau des abscisses des points et non à la notion de limite, mais ça me depasse.
Tu dis qu'au niveau de la surface c'est pareil, et pourtant un point sur [AB] a plusieurs correspondants dans la surface du triangle ? Peut être que je ne comprends pas!
ça fait rien, c'est quelque chose qui me dépasse.
Merci

[invitee38fb47b]

où peut-on trouver la démonstration de Cantor ( de 1874) affirmant qu'il y a autant de points dans le carré que sur le côté du carré ?Quel genre de bijection a-t-il fait ? A quoi ressemble cette démonstration ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Je n'en mettrais pas ma main à couper, mais je me souviens de la démo suivante :

Soit x et y deux éléments de [0, 1[, alors on leur associe le nombre z de [0, 1[ dont les décimales paires sont celles de x et les décimales impaires, celles de y (on ne prend en compte que les développements propres)

[invite75a796c1]

Bonsoir,

pour la surjectivité, il y a eu un problème car certains réels peuvent avoir 2 représentations décimales : 1.0000 ... et 0.9999... sont égaux et valides par construction. En en choisissant par convention une seule, la seconde , il ne savait plus trouver d'antécédent à 12.04050607000505 ...

Pour s'en tirer, il établit une bijection de la paire de segments avec R puis R avec la surface ( finie ) puis de celle ci avec R². Une démo pas évidente du tout bien que d'apparence simple ...

[Médiat]

Bonjour,

C'est pourquoi j'ai précisé :

on ne prend en compte que les développements propres

[invite75a796c1]

Bonjour,

C'est pourquoi j'ai précisé :

Bonjour,

je ne sais pas ce que c'est alors ...

ps : j'ai trouvé dans wiki. Cantor a choisi les developpements impropres. Ok.

[Médiat]

Bonjour,

Vous avez la référence ?

Prendre les développements impropres doit permettre d'établir une bijection entre [0, 1] et [0, 1]², et non entre [0, 1[ et [0, 1[²

[invite75a796c1]

Bonjour,

Vous avez la référence ?

Prendre les développements impropres doit permettre d'établir une bijection entre [0, 1] et [0, 1]², et non entre [0, 1[ et [0, 1[²

Bonjour,

non, c'est une vieille lecture rendue nécessaire par mes difficultés sur le sujet. Autant que je m'en souvienne, il s'agissait d'un échange de courriers avec un autre mathématicien.

[invitef29758b5]

Salut

Une remarque naïve de ma part : pourquoi une succession de points invisibles donnent une droite visible !

Ce n' est pas naïf , c' est faux .
L' "épaisseur" d' une droite étant infiniment petite , elle ne peut pas être "visible" .

[invite82078308]

Autour du même sujet, voir : "courbe de Peano" .

[invite82078308]

Procéder par étapes:
Montrer que [0, 1] est équipotent à (l'ensemble des parties de
Un peu technique -mais pas difficile- du fait des nombre ayant deux développements en écriture binaire , ceux qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres, par exemple 1 = 0,11111... (en base 2, bien sur !), il y en a une quantité dénombrable.

Montrer que est équipotent à
Ce qui est très simple.

[invite82078308]

Ou, pour les partisans de marteau-pilon pour écraser une mouche, utiliser le théorème de Cantor-Bernstein et la bijection entre et l'ensemble triadique de Cantor.

On peut préférer faire cela par soi même ...

Ce théorème n'est pas inutile si on veut aller plus loin sur les questions de cardinalité.

[invite75a796c1]

Bonjour,

Vous avez la référence ?

Ca n'est pas celle que j'avais lue mais elle dit à peu près la même chose pour le développement décimal choisi :
Was Cantor Surprised? by Fernando Q. Gouvea ( pdf direct )

Specifically, he pointed out that such numbers as
z = 0.120101010101 ...
did not correspond to any pair (x,y), because the only possible value for x is 0.100000... which is disallowed by Cantor’s choice of decimal expansion.

Mon exemple n'était pas bon, je juxtaposais les décimales de nombres > 1 , ce qui complique inutilement l'interprétation.

[invite82078308]

(...)
Gödel dit qu’il y a des infinis plus grands que d’autres, donc infini (1) < infini (2), c’est à dire n < m
Encore quelque chose naïve de ma part.
Vos commentaires SVP.
Merci

On s'est un peu égarés.
Qu'est-ce-que "la grandeur" d'un segment ? considérons les segments de la droite réelle :

On peut considérer la cardinalité du segment : "son nombre de point":
Deux ensembles A et B sont équipotents si il existe un bijection f entre A et B.

Prenons les segments A=[0,1] et B=[0,2]
Considérons l'application f définie par f(x)= 2 x pour tout x ,
f est une bijection entre A et B : f(x)elle est définie pour tout x de A, et si je prends un y de [0,2] il existe un unique x de [0,1] (en fait y/2) tel que f(x) =y.
Donc A et B sont équipotents.
On peut dire que A et B ont même cardinal, mais définir les cardinaux demande d'aller au delà des mathématiques élémentaires.

Une autre façon de considérer la "grandeur" d'un ensemble est d'utiliser la théorie de la mesure.
En prenant λ la mesure de Lebesgue on obtient λ([0,1]) = 1, et λ([0,2])= 2 ., ce qui correspond à l'idée habituelle.
( Tiens, existe-t-il une mesure (qui ne serait bien entendu pas σ-finie) donnant la longueur d'un segment de , ou d'une courbe assez régulière ? ...)
La théorie de la mesure n'est pas simple.