Application mathématiques

[invitea7795c34]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire et j'aimerais avoir vos avis sur mes réponses

On note A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g et f l'application de A -> A définie par la table de valeurs:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 4 5 1 3 6 2

Questions
1. f est-elle bijective?

2. On pose g = f ○ f et h = f ○ f ○ f (autrement dit h(x) = f(f(f(x)))).
Former des tables de valeurs analogues à celle de f mais pour g et h.

3. Quelles sont les applications f ○ g, g ○ f, f -1, f ○ g f et g ○ f ○ g ? (sans table)
(f-1 est la fonction réciproque de f).

4. A toute application s de A -> A, on associe l'application s' = g ○ s ○ f (autrement dit
s'(x) = g(s(f(x))). Quelle est alors l'application f s g?

Réponses
1.
F est surjective puisque toutes les images de f ont un antécédent dans A
F est injective puisqu’à une image de f dans A ne correspondent que différents antécédents dans A.
Puisque f est surjective et injective alors elle est par conséquent bijective

2.

x	1	2	3	4	5	6
f(x) g = f(f(x)) h(x)=f(f(f(x))	4 3 1	5 6 2	1 4 3	3 1 4	6 2 5	2 5 6

3.
f ○ g = h(x) = 1,2,3,4,5,6
g ○ f = h(x)
f-1 = h(x)
f ○ g ○ f = f(x)
g ○ f ○ g = f(x)

4.
f ○ f ○ f ○ s ○ f ○ f ○ f = f-1 ○ s ○ f-1 = x
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[invitee27a8b07]

Des erreurs à la 3. f ○ g = h(x) = 1,2,3,4,5,6 ne s'écrit pas, pour deux raisons :
1) La fonction f ○ g n'est pas égale au nombre h(x). Si j'écris f, c'est une fonction ; si j'écris f(x), c'est l'image de x par f, donc un simple réel. Ne jamais confondre les deux, et ne jamais écrire qu'une fonction est égale à un réel. (Une erreur similaire à corriger dans la question 2.)
2) La fonction h ne vaut pas "1,2,3,4,5,6", qui n'est qu'une liste de nombres sans signification. En revanche, comme chaque entier de 1 à 6 est sa propre image par h, tu peux écrire que h est la fonction identité sur [1,2,3,4,5,6] : h = Id

Tu as alors montré que f ○ g = g ○ f = Id. Tu connais donc la fonction inverse de f... Relis ton cours : quelle est la définition de la fonction inverse, et comment la caractérise-t-on ? Ton f-1 = h est donc faux.

Ta question 4, telle que tu l'as écrite, ne veut rien dire... Et ta réponse non plus... Peux-tu préciser la question ?



PS : "mathématiques du supérieur" ? Tu sais que tu aurais plutôt dû poster dans "mathématiques du collège et du lycée", non ?