Montrer que c'est un K-ev

[invitee86e1cad]

Soit (K,+, . ) un corps
(pas obligatoirement dans R ou C )

avec +:
K^n x K^n --> K^n
(X=(x1,...,xn),Y=(y1,...,yn)) --> X+Y =(x1+y1,...,xn+yn)

et . :
K x K^n -->K^n
M,X=(x1,...,xn) --> (Mx1,...,Mxn)

Montrer que (K,+,.) est un K-ev


D'abord je montre que c'est un groupe abélien
je montre que (K,+) c'est commutatif

(x1,...,xn)+(y1,...,yn) =(x1+y1,...,xn+yn)
=(y1+x1,...,yn+xn)
=(y1,...,yn)+(x1,...,xn)

Donc (E,+) est commutatif
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[invitee27a8b07]

Bravo, et sinon, quelle est la question ? Tu veux qu'on fasse tout le reste ?

C'est un exo très classique (je l'ai fait la deuxième ou troisième semaine de ma première année de prépa, et pourtant c'était à l'INSA, autant dire pas du haut level Fouille dans les annales. Les définitions s'appliquent toutes seules... Distributivité, commutativité...)

[invitee86e1cad]

Bonjour,
C’était pour être sure de ce que j'avais fait parce que je n'avais pas très bien compris

[invitee27a8b07]

Il faut repartir de la définition d'un espace vectoriel et tout démontrer dans l'ordre :
- + est une loi interne (la somme de deux éléments de K est dans K), associative et commutative (ta démonstration de la commutativité est parfaite !)
- . est distributive par rapport à +, associative, et l'élément neutre multiplicatif de K est neutre pour .
C'est un "grand classique", ce genre de démos, et il semblerait que tu n'aies pas mal compris

[A voir en vidéo sur Futura]