Vers un logarithme complexe

[Snowey]

Bonjour à tous

Lors de mon cours sur les complexes (MPSI), notre prof nous a "donné l'intuition" de l'existence d'un logarithme complexe.
Notamment, sous forme d'exercice, il nous a demandé de montrer que pour tout couple de réels (x,y) tels que l'argument principal du complexe associé est.

Je me suis attaqué au problème (simple d'après mon prof), mais je m'aperçois que je suis bloqué.
Pour commencer, j'écris , ce qui me donne le système avec
Celà me donnerait alors :/

Bien sûr, puisque je connais la formule finale, j'arrive à "m'arranger" en écrivant et en remarquant que que l'on retrouve pour l'angle demandé mais ce n'est pas du tout comme ça que l'on doit y arriver (selon moi !).

Une autre "astuce" pourrait être d'écrire ce qui donne alors ce qui donne le résultat souhaité .

J'ai (au moins) deux questions:
-Pourquoi ne pas écrire simplement ? Je pense que c'est à cause des domaines de définitions qui ne sont pas respectés, pour l'angle notamment. est ce la bonne raison, et est-ce la raison pour laquelle on doit travailler avec l'arc moitié ?
- Quelle démonstration vous semblerait la plus rigoureuse ?

Enfin, pour terminer sur cette approche du logarithme complexe, pourquoi peut on écrire que ?

Merci beaucoup !
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[phys4]

Bien sûr, puisque je connais la formule finale, j'arrive à "m'arranger" en écrivant et en remarquant que que l'on retrouve pour l'angle demandé mais ce n'est pas du tout comme ça que l'on doit y arriver (selon moi !).

Une autre "astuce" pourrait être d'écrire ce qui donne alors ce qui donne le résultat souhaité .

J'ai (au moins) deux questions:
-Pourquoi ne pas écrire simplement ? Je pense que c'est à cause des domaines de définitions qui ne sont pas respectés, pour l'angle notamment. est ce la bonne raison, et est-ce la raison pour laquelle on doit travailler avec l'arc moitié ?
- Quelle démonstration vous semblerait la plus rigoureuse ?

Enfin, pour terminer sur cette approche du logarithme complexe, pourquoi peut on écrire que ?

Merci beaucoup !

La définition avec tang theta est incomplète, elle ne définit que l'intervalle ]-pi/2, +pi/2[
pour avoir une définition complète il faut ajouter une condition, faire +pi pour x négatif. C'est assez lourd à manipuler dans les équations.
L'équation en tang theta/2 permet d'avoir directement la formule dans l'intervalle ]-pi, +pi[, elle est presque complète
En toute rigueur il faut ajouter la condition theta = pi si le dénominateur est nul.

Pour définir d'une manière rigoureuse le log complexe, il faut le considérer comme la fonction inverse de l'exponentielle.
L'exponentielle est parfaitement définie en complexe, ce qui définit le log.