L2 : convergence d'intégrales

[Chamimi]

Bonjour,
J'ai un problème concernant un exercice, je trouve une solution différente de celle du prof et je ne comprends pas pourquoi.
Exercice :
Etudier la convergence de l'intégrale de cette fonction :



J'ai fait :

Or n'est pas dérivable en donc elle ne l'est pas sur .

Ainsi, n'est pas dérivable sur .

Mais il fallait trouver qu'elle est dérivable... Où est l'erreur?

Merci d'avance.
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[Tiky]

Bonjour,

Je ne vois pas le rapport entre la dérivabilité de la fonction et son intégrabilité sur .
La fonction est dérivable sur . Elle est même sur cet intervalle.
Enfin le produit d'une fonction dérivable avec une fonction non-dérivable peut être dérivable. L'exemple évident étant de multiplier par la fonction nulle.

[Chamimi]

Oh désolée, c'est un lapsus, partout où j'ai mis "dérivable", je voulais écrire "intégrable"...

[Chamimi]

Notre prof nous a dit que n'était pas intégrable ni sur ]0; 1] ni sur [1;+[...

Je ne comprends plus rien...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Oui n'est pas intégrable sur mais le produit d'une fonction intégrable par une fonction non-intégrable peut être intégrable.
C'est le cas ici. La fonction ne serait-elle pas prolongeable par continuité en 0 ? Que dire de l'intégrabilité d'une fonction continue sur un segment ? et donc sur ?

[Chamimi]

Oui, mais si je montre que l'intégrale impropre de la valeur absolue de f ne converge pas, je ne devrais pas trouver que f n'est pas intégrable?

[Tiky]

Bah si mais . Majorer par une fonction non-intégrable sert à rien.

[Chamimi]

Sans majorer, mais avec une égalité ça ne marche pas?
(je n'insiste pas, mais j'essaie de comprendre...)

[Tiky]

Justement ton égalité est fausse.

[Chamimi]

Ah d'accord, je crois que j'ai compris ce qui n'allait pas.

Merci