topologie

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour cet exo:
soient E dans R et c dans R. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
1) c est point d'accumulation pour E
2) il existe une suite (xn) tel que c différent de xn dans E, pour tout n dans N xn différent de xm si n différent de m et limxn=C quand n tend vers +oo
3) dans tout voisinage de c il nombre infini de points de E

je n'arrive aucune des implications
par exemple si je prend 1) implique 2)
c point d'accumulation: pour tout r>=0, B(c,r) inter E non vide
mais après je ne vois pas comment faire?
de même pour les autres implications.

y-a-t-il des choses que je devrai revoir pour traiter cet exercice?

merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Tu devrais revoir ta définition de point d'accumulation.
Dans un espace métrique E, un point c est un point d'accumulation d'une partie A de E si et seulement si c est adhérent à C = A\{c}.
Autrement dit si et seulement si :

[invite371ae0af]

merci de ta réponse
donc ce n'est pas E
en faite on prend l'espace privé du point d'accumulation ici C?

[Tiky]

On n'a pas les mêmes notations. J'ai appelé l'ensemble tout entier.
Pour reprendre tes notations :
Un élément de est un point d'accumulation de si et seulement si :


Montre les implications suivantes : .

Pour la première implication, construis par récurrence une suite à valeurs dans qui converge vers .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

après recherche j'ai réussi 3) implique 1)
mais pour 1) implique 2) je ne vois pas comment construire une suite par récurrence?

[Tiky]

Voici la méthode pour construire la suite.
Je pose et
On sait que .
Soit . Or , donc . Je pose
Soit . On a par construction . On pose et ainsi de suite.

La suite vérifie bien que et .

[invite371ae0af]

pourquoi prend tu des boules pour construire la suite?
je pensai qu'on pouvait avoir l'expression de la suite explicitement?

[Tiky]

Non, aucune chance que tu trouves une expression explicite. Pourquoi je prends des boules ? parce que c'est ce que j'ai dans la définition du point d'accumulation.

[invite371ae0af]

mais pourquoi faut-il faire une récurrence alors?