DM [Niveau PCSI] Divisibilité d'un polynôme

[invite62d081df]

Bien le bonjour,

je ne suis plus dans les études depuis sept ans maintenant, mais pour préparer un concours interne je dois me replonger dans les mathématiques dans le cadre d'une prépa pour le sus-dit concours. Or étant plutôt physicien de formation, j'avoue être passablement rouillé, et je bloque sur un exo d'un DM. Je suspecte qu'il y a une astuce, mais je n'y vois goutte.

En voici l'énoncé :

pour quelles valeurs de n



est-il divisible par

J'ai essayé pas mal de choses :

- J'ai fais les divisions euclidiennes jusque n = 6 pour essayer de trouver une réccurrence. Mais rien ne m'a sauté aux yeux ...
- J'ai essayé de réécrire P(x) à l'aide du binôme de Newton, et j'arrive à l'éxprimer au rang n+1 en fonction du rang n, mais avec d'autres termes très peu commodes à manipuler ...
- Je me suis usé les yeux sur le triangle de Pascal sans résultat (car p(X) est bêtement (x+1)^n auquel on enlève les termes de degré 0 et n.)

Enfin bref je ne vois pas trop quoi en faire de ce polynôme ... J'imagine que la solution n'est pas du type : "c'est divisible par 5, 7 et 32" mais plutôt du genre "divisible pour n impair et strictement supérieur à 4". Mais je bloque ...

Alors si quelqu'un a une petite idée à me glisser, je lui en serais infiniment reconnaissant. Merci d'avance.
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[invite3240c37d]

On va noter si est divisible par
donc
, d'où
Notons avec , et on a


... Je te laisse continuer ...

[invite62d081df]

Salut,

d'abord merci d'avoir pris le temps de répondre. il m'a fallu pas mal de temps pour "lire entre les lignes de ta démonstration", ce qui ne fait pas de mal, mais un point reste encore obscur pour moi. Je vais essayer de reprendre la démonstration en comblant les manques entre lignes :

On note si est divisible par



On voit que tous les termes sont proportionnels à diverses puissances de sauf le dernier qui est juste

On a donc bien et également :



Ensuite

On a donc :

Ce qui implique

de plus comme A|B et A|C implique que A|B+C on peut écrire que

En revanche je ne comprends pas le lien entre ce dernier résultat et la suite, et en particulier pourquoi tu ne poses pas plutôt

Pour la suite si j'admets qu'on pose, bien que je ne comprenne pas pourquoi, on trouve :





On en déduit donc que c'est pour les et que

Si tu pouvais m'éclairer sur le point d'ombre qui reste ce serait parfait. Et au passage autant j'arrive à peu près à reconstituer le puzzle une fois que j'ai la démonstration esquissée, autant je le demande encore comment j'aurais pu trouver ce genre de solution seul ...

Merci d'avance.

[invite3240c37d]

C'est plus commode de poser .
Avec tu observes que donc tu dois prendre en compte la parité de et ça revient au même ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62d081df]

Compris. J'ai tout remis bien au propre, et il ne reste plus d'incompréhension. Je te remercie encore une fois de m'avoir répondu. A plus.