Produit des 1+1/k²

[invite3b6bbe93]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour montrer que avec
J'ai déjà montré que Un était croissante. Je pense qu'elle converge mais je ne parviens pas à la majorer pour le montrer.
Sinon par curiosité quelle est sa limite?
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[invitef9d756be]

Prends le logarithme de Un et utilise le fait que ln(1+x) est inferieur à x. Log de Un est majoré par la


somme des 1/k² qui vaut Pi²/4.

[invitea07f6506]

Alors, pour montrer que converge, le plus simple me semble de passer au logarithme. En effet, est une série dont le terme général est équivalent en l'infini à , et converge donc. Par conséquent, converge. Une autre façon de faire le même calcul est d'utiliser la majoration :



Quant à la limite... Je ne connais pas de méthode simple pour la trouver, mais on peut utiliser le développement en produit infini de la fonction sinus cardinal (voir par exemple ici, à "Sine function"). Après quelques manipulations élémentaire, on trouve :

[Amanuensis]

Solution pédestre : par récurrence, montrer que Un< sqrt(n+1) à partir d'un certain rang

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9d756be]

Une petite correction
la somme des 1/k² qui vaut Pi²/6 et non Pi²/4.