Produit des longueurs des diagonales d'un polygone régulier

[Flyingsquirrel]

Bonjour,

Un problème autour des polygones réguliers : On considère un polygone régulier à côtés, inscrit dans un cercle de rayon unitaire. On choisit un sommet de ce polygone. La question est : Que vaut le produit des longueurs des segments joignant ce sommet aux autres ?

Par exemple pour l'heptagone suivant

On cherche la valeur du produit .

Selon la façon dont vous répondez à la question vous pourrez peut-être démontrer au passage une identité trigonométrique qui permet de calculer la valeur des expressions du genre

.

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[invite2220c077]

Salut,

Sans perte de généralité, on peut toujours supposer que les affixes des sommets du -gone sont les images géométriques des racines -ième de l'unité, avec , puisque par définition, les racines -ième de l'unité forment un polygone régulier à sommets inscrit dans le cercle unité.

Soit le polynôme

avec

Il est clair que

En passant aux modules, on obtient alors :

PS : Sinon, la formule était :

[invite2220c077]

J'ai oublié le nombre imaginaire dans la formule de , bien entendu.

Une autre correction : "les affixes [...] sont les racines -ième de l'unité".

[Flyingsquirrel]

PS : Sinon, la formule était :

Oui, c'est effectivement celle-là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Sauf que la démo de cette formule utilise le résultat de ton exercice, et je ne vois pas comment la démontrer autrement ... Comment as-tu fait ?

[Flyingsquirrel]

Sauf que la démo de cette formule utilise le résultat de ton exercice

Oui, c'est ce que je voulais dire dans mon premier message mais apparemment je n'ai pas été clair...