somme et produit des racines

[invited03209ae]

bonjour

je voudrai savoir à quoi sa sert de calculer la somme et le produit des racines ?

à part à calculer les racines sans le discriminant.

Merci d'avance
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[invitea3eb043e]

Si on regarde la courbe y = a x² + b x + c, on voit que cette courbe (parabole) coupe l'axe des x en 2 points (pas toujours). A ce moment, par symétrie, on voit que la demi-somme des racines est le point le plus bas (ou le plus haut si a est négatif).
Plus intéressant : on utilise le truc à l'envers : si on appelle S la somme de 2 nombres x1 et x2 et P leur produit, alors ces 2 nombres sont les racines de l'équation :
X² - S X + P = 0
et ça, ça sert souvent, par exemple pour montrer que ça ne marche pas toujours (il faut delta>=0)

[invited03209ae]

si j' ai bien comprit la dernière idée est que grâce à cette équation X² - S X + P = 0 et que tout est bien vérifié on trouve les racines de l'équation

[invited03209ae]

si j' ai bien comprit la dernière idée, est que si on a la somme et le produit on peut inversement trouver les racines

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited03209ae]

mon 1er post est faux, faut voir le 2ime si il est pas faux lui aussi Xd :s

[invitea3eb043e]

si j' ai bien comprit la dernière idée, est que si on a la somme et le produit on peut inversement trouver les racines

C'est ça, oui. A condition que S² - 4 P >=0
On peut même trouver un truc plus subtil : si les 2 racines jouent le même rôle, on peut souvent rédiger le problème en fonction de S et P.
Exemple : calculer Q=a^3 + b^3. Tu verras que a et b jouent le même rôle (si je les échange, ça ne changera pas la valeur de l'expression). Il n'est pas difficile d'écrire Q en fonction de S et P. Essaie.

[invited03209ae]

que veut tu dire par les 2 racines jouent le même rôle ?

[invitea3eb043e]

L'idée est que si on prend une expression compliquée du genre
a^3 + b^3 - 25 a² - 25 b² + 9 a²b²
On voit que a et b jouent le même rôle ; si je remplace a par b et b par a, ça ne change rien à l'expression. Alors, on peut écrire l'expression en fonction de S et P.
Souvent, quand les variables jouent le même rôle comme ici, il n'est pas opportun de détruire cette symétrie, il vaut mieux faire un changement de variable et prendre S et P.

[invite029139fa]

En fait, la somme et le produit des racines au degré 2 du polynôme se généralisent en somme, puis somme des produits (ab+ac+ad+bc+bd+cd) puis en somme des triples produit (abc+abd+acd+bcd) et en produit de tout les éléments (abcd)
Au degré 4.
De meme, tu peux encore généraliser au degré n.
C'est fonctions sont alors appelées "fonctions symétriques élémentaires" car comme l'ont deja fait remarquer les autre posts, tu peux échanger deux variables sans changer la valeur de ta fonction.
C'est ce qu'on appelle des invariants pour un polynôme. Leur utilité est non négligeable puisqu'elles peuvent éventuellement t'aider à trouver les racines de polynômes de degré 3 et 4.
Je m'explique : Si ton polynôme s'écrit P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)(X-d) (forme d'un polynôme unitaire de degré 4), tu remarques qu'en développant, tu retrouves ces fonctions symétriques élémentaires, a un signe près.
Tu obtiens donc des relations entre les racines de ton polynôme et ses coefficients sous forme de système, souvent facilement résoluble.

Pour plus d'infos, tape "Fonctions symétriques élémentaires"

Cordialement
Elie520