Limite

[invitedcf42569]

Bonsoir à tous:
Je voudrais savoir comment on trouve la limite suivante:
n*ln((n+1/n-1))
J'ai beau chercher avec des suites équivalentes ou autre je n'aboutis pas.
Merci
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[Bruno]

Bonjour,

Je ne vois aucune limite dans ton post !

[invitedcf42569]

lim quand n tend vers +infini de
n*ln((n+1/n-1))

[Bruno]

Quand n tend vers l'infini, le quotient (n+1)/(n-1) ne comporte comme n/n càd 1, on a donc une indétermination :



L'astuce consiste à se ramener à la forme 0/0 ou ∞/∞ pour pouvoir appliquer la règle de l'Hospital, on tombe alors sur un quotient de polynômes dont la limite est immédiate.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Sinon si tu as vu les équivalents, c'est (presque) immédiat :

[invite57a1e779]

Bonjour,

En détaillant : d'où, en posant :



et la limite se calcule immédiatement en utilisant la dérivée du logarithme.

[Bruno]

Oui, c'est un bête développement de Maclaurin pour ln (1+y) après avoir posé x=1/y. Encore faut-il connaître ces développements par coeur (ce qui est moins immédiat qu'une dérivée).

[invitedcf42569]

Merci beaucoup à tout les deux.
Oui avec les équivalents je n'avais pas du tout pensé à séparer la fraction comme ça.
Quand à l'autre méthode, comment peut on transformer un produit comme ça en fraction pour se ramener à la forme 0/0 ou inf/inf?

[Bruno]

Astuce de calcul :

[invitedcf42569]

Merci beaucoup à tous