Approximer le produit de deux nombres sans les multiplier directement

**anthony_unac** · 02/11/2011, 21h24

Bonjour,

Je m'obstine à vouloir trouver une méthode permettant de multiplier deux nombres sans les multiplier directement.
Pour commencer, j'ai commencé par poser que les deux nombres à multiplier (respectivement) r1 et r2 étaient les racines de l'équation $\text{[math]}$ . J'en ai alors déduis que :
$\text{[math]}$
mais ce résultat n'ai pas satisfaisant au sens ou on doit se cogner deux multiplications : (r1+r2)*(r1+r2) et (r1-r2)*(r1-r2).
J'ai alors décidé de travailler avec la représentation graphique de le fonction f : x -> x^2 + bx + c avec :
a = 1
b = - (r1+r2)
c = r1*r2
De cette représentation graphique, j'ai cherché à travailler avec l'aire comprise entre l'ordonnée et le morceau de parabole partant de c (ordonnée à l'origine de la fonction) à r1 (première intersection de la parabole avec l'axe des abscisses).
Cette Aire = int de 0 à r1 de (x^2 + bx + c) dx = r1 [(-1/6)r1^2+c/2]
Dans la foulée j'ai considérer que cette Aire était équivalente à l'aire du triangle O C r1 rectangle en O dont la valeur est égale à (r1*c)/2
Mais cela ne va pas et je ne parviens pas avec cet artifice à approximer la valeur de c = r1*r2.

Pouvez vous m'aider ?

Je pensais également exploiter la méthode de Newton Raphson pour approximer c=r1*r2 mais je ne vois pas avec quelle fonction procéder ?

Cordialement
Anthony

**taladris** · 03/11/2011, 02h47

Salut,

je ne suis pas sûr de comprendre ta question mais si tu cherches juste le produit des racines (comptées avec multiplicité) d'un polynôme ax²+bx+c, alors c'est c/a. Au passage, la somme est égale à -b/a. C'est très utile pour trouver une racine quand on connaît l'autre. On peut aussi généraliser ces formules à des racines de polynôme de n'importe quelle degré.

**anthony_unac** · 03/11/2011, 08h32

Envoyé par taladris

Salut,

je ne suis pas sûr de comprendre ta question mais si tu cherches juste le produit des racines (comptées avec multiplicité) d'un polynôme ax²+bx+c, alors c'est c/a. Au passage, la somme est égale à -b/a. C'est très utile pour trouver une racine quand on connaît l'autre. On peut aussi généraliser ces formules à des racines de polynôme de n'importe quelle degré.

Tout ce que vous dites est correct et dans mon exemple $\text{[math]}$ donc on retrouve :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Le but du jeu est de déterminer la valeur de $\text{[math]}$ ou du moins une approximation de $\text{[math]}$ sans faire directement le produit $\text{[math]}$

**ansset** · 03/11/2011, 09h36

je ne comprend pas.
tu veux calculer c sans connaitre r1 et r2, mais que connait-on alors ? b uniquement ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**anthony_unac** · 03/11/2011, 09h40

Envoyé par ansset

je ne comprend pas.
tu veux calculer c sans connaitre r1 et r2, mais que connait-on alors ? b uniquement ?

Vous avez raison de demander c'est bel et bien $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ que l'on connait et c'est $\text{[math]}$ que l'on souhaite approximer.

**anthony_unac** · 03/11/2011, 10h19

Je pense avoir avancer sur mon problème en exploitant d'une part cette relation :
$\text{[math]}$
et en calculant les carrés $\text{[math]}$ à l'aide de la méthode de Newton Raphson en exploitant la fonction :
$\text{[math]}$

inviteea028771 · 03/11/2011, 13h11

Et tu calcule comment la racine carrée de ton nombre (qui est très grand) ? Par la méthode de Newton Raphson?

**anthony_unac** · 03/11/2011, 13h58

Envoyé par Tryss

Et tu calcule comment la racine carrée de ton nombre (qui est très grand) ? Par la méthode de Newton Raphson?

Exactement, je peux extraire une racine carré à la main à l'aide :
1/ d'une approximation reposant sur la découpe du nombre sous la racine par tranche de deux (méthode d'un tout autre temps)
2/ En affinant avec Newton et plus particulièrement un cas particulier appelé formule de Héron

**anthony_unac** · 03/11/2011, 22h22

Numériquement, ça ne va pas ! Mon approximation n'est pas bonne, elle n'est pas suffisamment précise !
Connaissez vous d'autre méthode ?
Je pensais exploiter le polynôme d'interpolation de Lagrange avec les points :
(r1;0) et (r2;0) et ((r1+r2)/2;-delta/4) minimum de la fonction $\text{[math]}$

Avec ces trois points, je ne sais pas quel polynôme Lagrange nous donne mais le but étant ici de déterminer c = r1*r2 et qui est également l'ordonnée à l'origine de la fonction $\text{[math]}$

invite4492c379 · 03/11/2011, 22h34

Si tu veux juste approximer, tu peux jeter un coup d'oeil sur les règles à calculer ou les nomogrammes par exemple.

**anthony_unac** · 03/11/2011, 23h10

Envoyé par photon57

Si tu veux juste approximer, tu peux jeter un coup d'oeil sur les règles à calculer ou les nomogrammes par exemple.

Je ne sais pas trop de quoi est ce qu'il s'agit mais j'imagine que ce sont des tables au même titre que celles des log et anti log voire même des quarts de carrés.
Tout ceci constitue des outils or je me place dans la peau d'un homme ayant que ses mains (et éventuellement un stylo) comme outils.

inviteea028771 · 03/11/2011, 23h22

Envoyé par anthony_unac

Exactement, je peux extraire une racine carré à la main à l'aide :
1/ d'une approximation reposant sur la découpe du nombre sous la racine par tranche de deux (méthode d'un tout autre temps)
2/ En affinant avec Newton et plus particulièrement un cas particulier appelé formule de Héron

Donc tu va tourner en rond, puisque tu va devoir calculer 1/x, c'est à dire l'inverse (aïe) d'un nombre de l'ordre de (r1+r2)² (re-aïe).

Si vraiment tu veux estimer le produit de 2 nombres sans calculer le produit, pourquoi ne pas utiliser les logarithmes, ça a entre autre été inventé pour ça...

ln(r1*r2) = ln(r1)+ln(r2).

Sinon à la main pour estimer de tête le produit de 2 nombres, il suffit de ne pas considérer les plus petit chiffres :

12345*75342 = 12*10^3*75*10^3 = 900000000

**anthony_unac** · 04/11/2011, 06h45

Envoyé par Tryss

Donc tu va tourner en rond, puisque tu va devoir calculer 1/x, c'est à dire l'inverse (aïe) d'un nombre de l'ordre de (r1+r2)² (re-aïe).

Si vraiment tu veux estimer le produit de 2 nombres sans calculer le produit, pourquoi ne pas utiliser les logarithmes, ça a entre autre été inventé pour ça...

ln(r1*r2) = ln(r1)+ln(r2).

Sinon à la main pour estimer de tête le produit de 2 nombres, il suffit de ne pas considérer les plus petit chiffres :

12345*75342 = 12*10^3*75*10^3 = 900000000

Oui c'est une méthode d'un tout autre temps aussi mais la différence c'est que je m'interdis l'utilisation de tables alors va falloir extraire les log à la main a moins peut être d'approximer la chose avec la fonction :
$\text{[math]}$
On peut trouver le zéro de cette fonction avec Newton mais faut voir si c'est faisable à la main

PS : Votre approximation n'est pas suffisamment précise hélas

**ansset** · 04/11/2011, 12h29

on peut affiner avec les logs
r1=a1*10^n1 avec 1<a<10
r2=a2*10^n2
log(r1*r2)=log(r1)+log(r2)
=n1log(a1)+n2log(a2)

une developpement au premier degré soit n1a1+n2a2 doit donner une bonne approximation

**anthony_unac** · 04/11/2011, 16h22

Envoyé par ansset

on peut affiner avec les logs
r1=a1*10^n1 avec 1<a<10
r2=a2*10^n2
log(r1*r2)=log(r1)+log(r2)
=n1log(a1)+n2log(a2)

une developpement au premier degré soit n1a1+n2a2 doit donner une bonne approximation

Je ne tire rien de bon avec tout cela ou alors je suis passé à coté de quelquechose

invitee27a8b07 · 04/11/2011, 16h46

Excuse-moi de regarder tout ça "de loin", mais quel est l'intérêt de multiplier deux nombres sans les multiplier ?

**anthony_unac** · 04/11/2011, 16h47

Envoyé par anthony_unac

Oui c'est une méthode d'un tout autre temps aussi mais la différence c'est que je m'interdis l'utilisation de tables alors va falloir extraire les log à la main a moins peut être d'approximer la chose avec la fonction :
$\text{[math]}$
On peut trouver le zéro de cette fonction avec Newton mais faut voir si c'est faisable à la main

PS : Votre approximation n'est pas suffisamment précise hélas

Je cherche donc à approximer $\text{[math]}$ avec la méthode de Newton Raphson :
****************************** ****************************** *********
Pour se faire j'exploite la fonction $\text{[math]}$ dont la dérivée est donnée par la fonction $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ peut être approximer par : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ une estimation numérique de $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est a peu près égal à $\text{[math]}$

Seulement voila, pour le coup ça ne marche pas !
Et je ne sais pas pourquoi car ça marchait bien avec les racines la méthode de Newton Raphson

Quelqu'un sait il pourquoi la mayonnaise ne prend pas ici ?

PS : En essayant de déterminer $\text{[math]}$ j'aboutis à
****************************** ****************************** ***********
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
et visiblement ca ne converge pas vers $\text{[math]}$

**anthony_unac** · 04/11/2011, 16h53

Envoyé par MthS-Dillinger

Excuse-moi de regarder tout ça "de loin", mais quel est l'intérêt de multiplier deux nombres sans les multiplier ?

Je vous propose une réponse a choix multiples :
****************************** *******
1/ A rien, c'est une perte de temps
2/ A se remettre dans le contexte de nos aïeux
3/ A faire de la gym avec les outils mathématiques (histoire d'entretenir la forme)
4/ A chercher pour le plaisirs
5/ A faire parler les bavards

invite4492c379 · 04/11/2011, 17h05

Hello,

Je comprends MthS-Dillinger, ce que j'ai du mal à cerner est ce que tu veux faire exactement. OK tu veux effectuer une multiplication de deux niombres mais je n'arrive pas à comprendre les contraintes que tu imposes.

**anthony_unac** · 04/11/2011, 17h27

Envoyé par photon57

Hello,

Je comprends MthS-Dillinger, ce que j'ai du mal à cerner est ce que tu veux faire exactement. OK tu veux effectuer une multiplication de deux nombres mais je n'arrive pas à comprendre les contraintes que tu imposes.

Liste des contraintes :
******************

1/ Pas de multiplications ou alors des petites

2/ Tout doit être calculable à la main
3/ Il faut aboutir au résultat rapidement
4/ J'en oublie certainement d'autres

invite4492c379 · 04/11/2011, 17h35

Pourquoi ne regardes-tu pas du côté des techiniques de multiplications utilisées ailleurs dans le monde ou il y a quelques temps comme la multiplication chinoise a base de bâtons, ou la technique égyptienne à base d'addition et de division par 2 ...
Tu n'as pas à t'embêter avec les logs.

Si tu veux juste approximer, tu peux essayer de voir les techiniques des «calculateurs prodiges» par exemple.

**anthony_unac** · 04/11/2011, 17h45

Envoyé par photon57

Pourquoi ne regardes-tu pas du côté des techiniques de multiplications utilisées ailleurs dans le monde ou il y a quelques temps comme la multiplication chinoise a base de bâtons, ou la technique égyptienne à base d'addition et de division par 2 ...
Tu n'as pas à t'embêter avec les logs.

Si tu veux juste approximer, tu peux essayer de voir les techiniques des «calculateurs prodiges» par exemple.

La technique égyptienne ou sa variante russe ne sont pas très efficace sur le terrain.
La multiplication chinoise est laborieuse.
Les techniques des calculateurs prodiges c'est quoi concrètement ? C'est genre les gars qui parviennent a compter le nombre d'aiguilles qui viennent de faire tomber malencontreusement de la boite pleine. Et bien non, désolé je n'ai pas ce "pouvoir" photon

invite4492c379 · 04/11/2011, 17h49

Non ce sont des techniques qui permettent à des personnes (douées et entrainées évidemment) de pouvoir rapidement et de tête multiplier de grands nombres (ou extraire leur racine 13ème, ...). Il y a des références sur le net ; sinon le plus simple et le plus sûr reste la multiplication telle qu'on nous l'apprend à l'école, il suffit de savoir multiplier et additionner les chiffres pour le faire avec n'importe quel nombre ...

**anthony_unac** · 04/11/2011, 17h55

Envoyé par photon57

Non ce sont des techniques qui permettent à des personnes (douées et entrainées évidemment) de pouvoir rapidement et de tête multiplier de grands nombres (ou extraire leur racine 13ème, ...). Il y a des références sur le net ; sinon le plus simple et le plus sûr reste la multiplication telle qu'on nous l'apprend à l'école, il suffit de savoir multiplier et additionner les chiffres pour le faire avec n'importe quel nombre ...

...bien évidemment mais au fait quelqu'un sait il pourquoi la méthode de Newton Raphson appliquée a la fonction f décrite au message n°17 ne fonctionne pas ?

invite4492c379 · 04/11/2011, 18h25

Envoyé par anthony_unac

...bien évidemment mais au fait quelqu'un sait il pourquoi la méthode de Newton Raphson appliquée a la fonction f décrite au message n°17 ne fonctionne pas ?

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On obtient :

$\text{[math]}$

**anthony_unac** · 04/11/2011, 18h38

Envoyé par photon57

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Oui d'accord j'ai compris mon erreur !
J'étais parti bille en tête que la dérivée $\text{[math]}$ mais cela aurait été trop beau !

**anthony_unac** · 04/11/2011, 21h27

Bon, après de nombreuses tentatives, des recherches de formules et autres approximations infructueuses, je dois me résigner : multiplier deux nombres simplement sans réaliser la multiplication, ce n'est pas simple !

Néanmoins, une construction à éveillé ma curiosité : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier...structible.png

invite4492c379 · 04/11/2011, 21h29

Thales ... il s'agit d'un des nomogrammes dont je t'avais parlé.

**anthony_unac** · 04/11/2011, 21h33

Après coup, je me rends compte que ce type de construction est difficilement constructible pour des entiers élevés (cf le cas 14159*26535 par exemple).

**ansset** · 05/11/2011, 10h19

Envoyé par anthony_unac

2/ A se remettre dans le contexte de nos aïeux

alors autant utiliser une table de log ! ( qui ne date pas d'hier )

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