Bonjour, l'énoncé d'un exo est le suivant
soit f l'application définie de R vers R par f(x)=x - E(x) où E(x) désigne la partie entière de x
et soit l'ensemble Fx={f(nx) / n }
les résultats des premières questions est que Fx admet une borne inférieure égale à 0 et que
soient a et b deux réels tels que 0<a<b<1, on suppose que x est un nombre irrationnel
a) montrer qu'il existe tq 0<f(mx)<b-a
j'ai répondu a cette question en utilisant la caractérisation de la borne inf et en prenant epsilon=b-a, de plus f(mx) 0 car x n'est pas dans Q
b) montrer que l'ensemble T = {k / k.f(mx) a} est non vide et admet un plus grand élément
j'ai répondu a cette question en utlisant l'axiome de l'ensemble N qui dit que toute partie de N non vide et majorée admet un pus grand élément, T est non vide car il contient 0 et il est majorée par a/f(mx) (f(mx) différent de 0)
c) montrer que a<(+1).f(mx)<b
j'ai pu démontré l'inégalité de droite, sachant que (+1) n'appartient pas a T, par contre je ne vois pas pr l'inégalité de droite
d) montrer que l'intervalle ouvert contient au moins un élément de Fx
Puisque (+1).f(mx) est entre 0 et 1 ( 0 et 1 non compris) alors sa partie entière est nulle, dc (+1).f(mx)=f((+1).f(mx)) Fx
e) en déduire que l'ensemble Fx est infini ( Indication : faire un raisonnement par l'absurde)
je n'ai pas réussi a faire cette question,
mes tentatives :
on suppose que Fx est fini, soit y son plus grand élément
Fx est dense dans dc il existe une suite d'éléments de Fx qui converge vers y, j'ai écrit la définition de la limite, mais je n'arrive pas a trouver un epsilon qui me donne une contradiction ( par ex que y inférieur a un certain f(nx) avec n un entier non nul )
Auriez vous qqs remarques ou indications ?