moindre carrés : meilleur estimateur ?

[membreComplexe12]

salut tous,

j'ai cru comprendre que l'on utilise le critere des moindres carrés lorsque l'on souhaite faire un ajustement de courbe car c'est le meilleur estimateur ...

je n'ai pas compris cette notion, pourriez vous m'expliquer svp ?

ps: d'apres ce que je comprends ça veut dire que le choix de la somme des différences au carré est le meilleur critere d'ajustement pour un echantillon mais je ne comprends pas pourquoi. J'ai essayé de regarder sur le net et les explications ne m'inspirent pas trop...
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[Amanuensis]

Ce n'est le meilleur estimateur qu'avec les hypothèses suivantes :

1) L'incertitude (erreur) sur chaque point de mesure est une variable aléatoire gaussienne de moyenne nulle,

2) La variance de l'erreur est la même pour tous les points de mesure,

3) Les erreurs sont indépendantes d'un point de mesure à un autre.

Ces conditions sont très couramment réunies.

La démonstration que l'estimateur est le meilleure passe par l'évaluation de la probabilité des mesures conditionnellement aux hypothèses ci-dessus et à une courbe.

De par l'hypothèse 1 et à une constante multiplicative près, la probabilité conditionnelle de l'erreur au point i est : c'est la gaussienne qui fait apparaître le carré de la différence.

De par l'hypothèse 3, la probabilité conditionnelle de l'ensemble des erreurs est juste le produit des probabilités individuelles. Le produit d'exponentielles est l'exponentielle de la somme, ce qui fait apparaître la somme des carrés des différences,

Et maximiser la probabilité de la courbe f, c'est minimiser la probabilité de l'erreur conditionnellement à l'hypothèse que la courbe f est la bonne, ce qui est obtenu en minimisant la somme des carrés des différences.

[membreComplexe12]

merci beaucoup pour ta reponse.

j'ai l'impression qu'il me manque quelque notions, aurais tu un lien ou un pdf vers un cours qui explique tous ceci en detail ?

[Amanuensis]

merci beaucoup pour ta reponse.

j'ai l'impression qu'il me manque quelque notions, aurais tu un lien ou un pdf vers un cours qui explique tous ceci en detail ?

Non, pas sous la main. Mais c'est basique, cela doit (devrait ?) se trouver dans tout texte d'introduction à la méthode des moindres carrés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

j'ai compris à présent. Je n'avais pas compris au depart d'où sortait la gausienne et donc l'exponentielle.
maintenant c OK

merci beaucoup pour cette explication tres interessante

[Amanuensis]

Il y a une belle faute de signe dans mon message ! J'ai oublié le signe - dans les exponentielles, c'est bien évidemment des e^-x²/V. J'ose imaginer que cela n'a pas nuit à la compréhension...

[membreComplexe12]

non pas de soucis, j'avais même pas fait attention