probleme exercice exponentielle !

[invite6c23f7c2]

Bonjour,

je galère complètement sur un exo :
g(x) = x^x * e^-x

montrer que g(x)>1 si et seulement si xlnx - x > 0

est ce que vous pouvez me donner quelques pistes !

merci !
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[phys4]

Bonjour,

Avez vous remarqué que (xlnx - x) est le log de g(x) ?

La suite est très simple.

[invite6c23f7c2]

merci beaucoup j'ai réussi !

Est ce que vous pouvez me doonner une autre piste pour une autre question :
je dois montrer que l'équation e^x = x^n (avec n entier naturel non nul) admet deux solutions si n>(ou egal) 3

j'arrive à l'équation x/n=ln x
et la je bloque ...

[phys4]

La forme d'équation que vous avez obtenue est très utile pour voir graphiquement comment la courbe ln(x) coupe la droite x/n
La droite tourne autour de l'origine et peut couper la courbe si n assez grand.

Pour commencer nous pouvons rechercher pour quelle valeur x/a la droite est tangente à ln(x)
Il faut prendre un réel a au lieu de n pour avoir toutes les droites possibles:
Cela nous conduit à égaler la pente de la droite 1/a à celle de la courbe 1/x donc la solution est x = a pour une droite tangente en ln(a) = 1
Nous en déduisons que la droite tangente est x/e.
Pour les valeurs de n plus grandes que e, la droite x/n coupe la courbe ln(x) en au moins un point.
Il faut prouver ensuite qu'il y a deux points, de part et d'autre du point de tangence précédent.
La dérivée de la différence ln(x) - x/n vaut 1/x - 1/n
Elle est croissante pour x < n puis décroissante pour x > n, la différence est positive en x = n, vous pourrez en déduire qu'il deux points d'intersection de part et d'autre de n.
Il est possible d'utiliser directement ce dernier calcul pour trouver la limite de tangence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c23f7c2]

merci je comprends bien vos explications mais je ne vois pas pourquoi n doit etre supérieur a pour avoir deux solutions à l'équation...

[phys4]

Vous prenez simplement la seconde partie de la démonstration qui suffit à la solution.

L'étude de la fonction ln(x) - x/n nous montre qu'elle a une dérivée croissante puis décroissante.
Elle atteint un maximum pour x = n, donc si ce maximum est positif elle aura deux racines car sa valeur à l'origine est négative.

La condition du maximum positif s'écrit ln(n) - 1 > 0 donc vous avez directement n > e

[invite6c23f7c2]

pourquoi on me demande alors si n> 3 ??

[phys4]

La question était

je dois montrer que l'équation e^x = x^n (avec n entier naturel non nul) admet deux solutions si n>(ou egal) 3

La valeur 3 est donnée à titre indicatif encore faut il montrer que c'est bien la limite.

J'espère que ce n'est pas la condition trouvée n > e qui vous gêne, n est un entier et le premier entier plus grand que e = 2.718281... vaut 3

[invite6c23f7c2]

ah oui en effet !

Merci bien pour toutes ces explications !

[invite6c23f7c2]

du coup si alpha est la solution entre 1 et n et beta la solution supérieure à n comment je trouve alpha 3 et béta 3 ?

(je pense que je suis passée a coté de l'exo....=

[phys4]

du coup si alpha est la solution entre 1 et n et beta la solution supérieure à n comment je trouve alpha 3 et béta 3 ?

(je pense que je suis passée a coté de l'exo....=

Bonjour,
Je ne comprends pas la question, il est exact que la première solution est entre 1 et n, puisque la différence est négative en 1 et maximum en n.
La seconde solution est plus grande que n, l'on pourrait même démontrer qu'elle se situe entre n et n*n car la différence vaut alors
2 ln(n) - n
comme n est égal ou supérieur à 3 cette quantité est négative.
A priori le problème ne demande pas d'expliciter les solutions, seulement de montrer qu'elles existent.

Que viennent faire les valeurs alpha 3 et béta 3 dans la question ?