petit o et grand O, Séries et DL :)

[invitea316b35d]

Bonjour à tous !
Voilà, je suis en MP, et on travaille actuellement sur les Séries numériques ( quelles jolies petites bestioles ... ^^" )

Quelque chose me chiffonne.. afin de déterminer la nature de certaine série, on est amené à faire un DL en 0 du terme général.
Or, j'ai toujours appris à faire mes DL avec un petit o, en comprenant qu'un o(x) est quelque chose de négligeable devant x.
Pourtant, je vois parfois des cas où l'on utilise un grand O plutôt qu'un petit ( et ainsi, faire apparaitre des termes dans le grand O qui sont plus arrangeant que les termes dans le ptit o ) ... Mon incompréhension se situe ici..
A quelle(s) condition(s) peut-on mettre un grand O plutôt qu'un petit ? Que représente mathématiquement un grand O ? ( J'en ai bien une définition.. mais j'ai du mal à me représenter la chose =/ ).

Merci pour vos réponses...
-----

[invite57a1e779]

Lorsque tu écris , tu transcris le fait que avec de limite nulle: intuitivement, est «beaucoup plus petit» que .

Lorsque tu écris , tu transcris le fait que avec bornée, ce qui une vision totalement différente de la comparaison : ne peut pas être «beaucoup plus grand» que .

Lorsque tu as un DL du terme général de la série sous la forme :



tu en déduis que la série converge, et la valeur du coefficient n'a aucune importance.
Il aurait donc été plus économique de ne pas calculer ce coefficient et d'écrire : .

[invitea316b35d]

Merci, je comprend un peu mieux la notion de O.. Pourtant, je ne comprend toujours pas comment elle est employée dans certains exercices...

Exemple :



J'ai d'abord fais un DL :



Ce qui ne me permet pas de conclure.. En regardant finalement la solution :



Et là, j'ai un peu du mal à saisir =/
Je comprend pourquoi, une fois ce résultat établi, on en déduit que la série converge, mais je ne comprend pas comment établir ce résultat...

[invite57a1e779]

Dans ton exemple, on écrit : avec :



terme général d'une série convergente.

Si tu écris :



tu ne peux pas connaître le comportement de la série de terme général . On a en effet :



mais la série de terme général diverge, alors que la série de terme général converge.

En étant plus fin sur le développement limité, tu peux écrire :



qui te permet de conclure que la série de terme général converge, et la série de terme général également, mais sans préciser si le terme suivant du développement limité est de la forme ou , ou , ou ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea316b35d]

Bien, donc le grand O viens juste d'un développement limité plus précis en fait...
Etant donné qu'on se retrouve avec la série harmonique, on ne peux conclure, donc, on pousse un peu plus le DL pour faire intervenir du second ordre, et le O permet de ne pas se préoccuper des facteurs constants dans le DL.

Merci bien

[invited5b2473a]

Juste un truc de rédaction. Je ne sais pas à quel point ton prof de maths est pointilleux mais il se peut qu'il soit sévère avec toi parce que tu auras écris au-lieu de

[invite57a1e779]

il se peut qu'il soit sévère avec toi parce que tu auras écris au-lieu de

Y aurait-il des fonctions de comparaison interdites dans les o ?

[invited5b2473a]

Voyons, ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit. Je dis juste que sur la forme, il peut y avoir des profs un peu trop pointilleux qui ne voudront voir que des fonctions "simples" dans les petit o, ce qui était le cas d'un de mes profs.

[invite57a1e779]

Le problème n'est pas de se limiter à des fonctions de comparaison simples/compliquées, mais à des fonctions de comparaison utiles/inutiles.

Ce que lordfinalff doit retenir pour l'étude des séries, c'est que, dans une forme en ou , on ne peut conclure que dans le cas où la série de comparaison est convergente et à terme général positif. On peut avoir à préférer une série de comparaison avec un terme général compliqué, mais qui satisfait ces critères, à une série de comparaison plus simple, mais qui ne les satisfait pas.

Ecrire ou , c'est pour moi «bonnet blanc» et «blanc bonnet» : la première comparaison est inutile puisque le terme de comparaison n'est pas positif, la seconde est tout aussi inutile puisque la série de comparaison est divergente.

Il est certain qu'en MP, il n'aura vraisemblablement pas à utiliser des séries de comparaison très compliquées.

[invited5b2473a]

Encore une fois je suis bien d'accord, je ne parlais pas de la rigueur mais simplement du style. C'est juste que certains profs (et peut-être correcteurs) attendent de l'élève qu'il simplifie au maximum la fonction dans le o ou le O. Après il fait comme il veut, il aura juste dans tous les cas.

[parklee]

bonjour , je pense que cette fiche résume tout ce qu'il faut savoir à propos du développements limités au sens fort et au sens faible
http://maths54.free.fr/maths1/develimi/dlff.html
cordialement

[albanxiii]

8 ans après, je pense que la notion est soit assimilée, soit définitivement oubliée