Explication: détermination des points doubles

[invite7eed2b83]

Bonjour, j'ai un problème concernant un exercice sur l'étude d'un arc paramétrés, on l'a déjà corrigé en cours, mais je ne trouve pas comment refaire les points doubles, voici lénoncé:
x(t)=sin(2t)
y(t)=sin(3t)

j'ai fait le tableau de variation et le courbe, on obtient le même que sur ce site internet:
http://www.les-mathematiques.net/ph...dy_attachment=1

donc j'ai réussi à refaire les systèmes, j'en obtiens 4:

t=t'+kPi
t=t'+ 2kPi/3

t=t'+kPi
t=Pi/3 - t'

t=Pi/2 -t'
t=t'+2kPi/3

t=Pi/2-2t'
t=Pi/3 -t'

voila, j'en suis à là, et dans mon corrigé, on me dit que

j'ai réussi à retrouver les coordonnées d'un des points doubles, celui qui appartient à l'axe ox j'obtiens A(sqrt(3)/2;0)

par contre on me dit que l'autre point double t appartient à ]0;Pi/6[ et t' appartient à ]Pi;3Pi/2[
et on obtient comme cooronnés (1/2;(sqrt2)/2) mais je ne vois pas comment on réussi à trouver ses deux intervalles et comment on choisit deux systèmes,
j'ai fait létude sur [0;Pi/2]

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Pour cause de périodicité, la courbe est entièrement décrite sur l'intervalle .
Pour trouver les points doubles, il faut donc trouver les paires d'éléments de (donc ) telles que :



ce qui conduit, et étant deux entiers, aux quatre systèmes :





Le premier système conduit à : , donc est pair, avec , ce qui est impossible.

Le deuxième système conduit à : , avec , c'est-à-dire .

Pour , on obtient : ; dans , les solutions sont : (point double à l'origine pour ), (point double en pour ), (point double en pour ).

Pour , on obtient les mêmes solutions par échange de et .

Le troisième système conduit à : , avec , c'est-à-dire .

Pour , on obtient : ; dans , les solutions sont : (point double en pour ), ...

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup, c'est très claire, j'ai tout compris