Topologie : Compacité

[invite5768f8f7]

Bonjour J'ai du mal a demontrer ceci :


1- Soit (xn) une suite convergente dans E vers x Alors {xn, n £ IN} U {x} est une partie compacte de E

On peut la demontrer on utilisant cette definition de Compact :

Soit A C E on dit que A est une partie Compacte de E ssi toute suites delements de A admet ou moins une valeur dadherence dans A

2- Si f est continue au point a alors elle est toujours bornée sur une boule B(a,r) pour r suffisamment petit

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[invited5b2473a]

1) C'est quoi E? Un livre
Je suis d'accord avec ce que tu dis, il suffit d'écrire les choses.

2) C'est quoi f et a ? Deux bouteilles?

[invite5768f8f7]

E partie de IR je pense

f : fonction
a: point limite

[invited5b2473a]

E partie de IR je pense

f : fonction
a: point limite

Ce qui m'intéresse (et je m'en doutais mais un peu de rigueur ne fait pas de mal) est surtout la nature de E. Pour 1), tu appliques la définition. Et pour 2), vu que f est continue, ça veut dire que |f(x)-f(a)| vaut moins de 1 pour x suffisamment près de a.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5768f8f7]

Stp Dit moi comment j'ecrit les choses correctement pour 1) je sais pas comment commencer et merci

[inviteea028771]

E est un espace métrique quelconque...

La question 1 est plutôt simple :

Soit yn une suite d'éléments de A.
Si cette suite prend un nombre fini de valeurs, alors elle admet une valeur d'adhérence.
Si cette suite prend un nombre infini de valeurs, alors il existe une sous suite de yn qui converge vers x :

On a (avec ). Construisons par récurrence la suite u_n :


. C'est possible car la suite yn prend une infinité de valeurs.

Alors la suite est une sous suite de et est donc convergente.

PS : La démonstration est un peu rapide, mais l'idée générale fonctionne.


Pour la question 2

[invited5b2473a]

Tu veux pas le laisser réfléchir un peu? ;-D