nombre de racine d'un polynome

[membreComplexe12]

Salut tous,

j'ai pas mal de question sur les polynomes, j'ai besoin d'être certain d'avoir saisi:

SUR R
1°) un polynome sur R est un polynome dont tous les coefficients sont réels?
2°) pour ce type de polynome le nombre de racine minimum est 1. Les racines peuvent être complexes ou réelles
3°) comment les determinent on toutes dans le cas général (par exemple deg=12) ? je ne connais pas de technique generale, il y en a peut etre si on essais de diviser le polynome apr (X-racine) et que l'on regarde les valeurs que doit prendre "racine" pour que la division euclidienne soit réalisable?


SUR C
1°) un polynome sur C est un polynome dont tous les coefficients sont complexes et reels ?
2°) pour ce type de polynome le nombre de racine est egale au degres du polynome (on parle de polynome scindé.?)
3°) Les racines peuvent être complexes ou réelles
4°) comment les determinent on toutes dans le cas général (par exemple deg=12) ?


ça fait pas mal de question.... désolé

j'espere que vous pourrez m'éclaircir un peu tous ceci
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[fitzounet]

1) ok
2) ok cf , ou tout polynome de degré 2 dont le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines réelles. Après tu peux avoir des racines complexes par exemple ici 2i et -2i). Après il y a toujours autant de racines que le degré. En fait on peut construire C en disant que c'est une cloture algébrique de R, c'est à dire que c'est le plus petit corps contenant R et toutes les racines de tous les polynomes a coeff dans R. Donc un polynome a coeff dans R a forcément des racines dans C.
3) Dans le cas général, pas de méthode explicite.

1) coeffs complexes suffit (cf si on est réel, on est complexe) mais ok
2) Comme dans le cas précédent. On peut dire que le polynome est scindé sur C (car toutes les racines sont dans C)
3) ok mais une fois de plus R est inclus dans C
4) pas de méthode dans le cas général.

[membreComplexe12]

super merci.

- donc dans le cas général il y a toujours autant de racines que le degrès du polynome ? et a t on une indication sur le nombre de racines qui sont à partie complexe nulle ?
- je demande cela car une fois j'ai entendu qu'un polynome de degres 3 à un moins une racine reélle ?

j'ai vu (mais pas utilisé) des fonctions sous un logiciel de calcul numerique qui permet de déterminer les racines d'un polynome de degres quelconque
http://www.mathworks.fr/help/techdoc/ref/roots.html

ca veut dire qu'il existe donc une méthode generale de recherche des racines du polynome. J'aimerai en savoir plus sur ça si quelqu'un à une idée... du fonctionnement

[membreComplexe12]

au fait si dans C il y a autant de racines que le degres du polynome alors ça veut dire que tout polynome peut s'ecrire:

[A voir en vidéo sur Futura]

[fitzounet]

Pour ton logiciel de calcul numérique il se base sur des méthodes approchées. L'une d'elle est d'évaluer le polynome en des points. Comme les fonctions polynomiales sont continues, si tas un point a tel que P(a)>0 et un b tel que P(b)<0, alors par le thm des valeurs intermédiaires, il existe c dans [a,b] tel que P(c)=0. Donc il calcule c en restreignant peu à peu [a,b] (par dichotomie par exemple).

Pour le produit dans C c'est ok.

Et enfin la racine réelle pour le polynome de degré 3 vient également du thm des val intermédiaires. Car tu vas avoir :
et (ou le contraire) et comme la fonction polynomiale est continue, il y a forcément une racine réelle.

ça va marcher pour tous les polynomes de degré impair.

[invite6cf1de63]

- donc dans le cas général il y a toujours autant de racines que le degrès du polynome ? et a t on une indication sur le nombre de racines qui sont à partie complexe nulle ?

Bonjour,
voici un début de réponse : Théorème de Sturm.

[membreComplexe12]

merci pour votre aide !!!

Fitzounet j'ai bien compris ton explication merci. Je pense qu'il y a aussi une autre solution d'apres ce que j'ai compris:

=> Ramener notre polynome a un polynome unitaire
=> ecrire la matrice compagnon de ce dernier

determiner par une methode numerique les valeurs propre de cette matrice (ce qui revient au meme que la recherche de racines)

[fitzounet]

Oui c'est ça

[membreComplexe12]

quelques questions à propos de la résolution numerique:

1°) que ce soit pour la dichotomie ou un algorithme de recherche de valeurs propre le fait que les solutions soient complexes ne pose pas probleme ?
=> par exemple pour la dichotomie je ne vois pas trop comment faire si on cherche une solution complexe...
=> pour une methode de type Newton je ne vois pas trop non-plus comment rechercher des racines complexes...

2°) pour un algo comme celui que tu proposais il y a des trucs qui me bloque (outre les solutions complexes)
=> comment determiner l'espace de recherche des solutions? si on a trouvé une solution on agrandit l'espace de recherche jusqu'a ce que le nombre de solution soit egale au degres du polynome
=> par contre ce type d'algo ne pourrait pas faire la distinction entre racines multiples et racines simples, du coup il ne saurait pas comment s'arreter....

[fitzounet]

Je suis pas un spécialiste du calcul appliqué, mais je pense que Sturm est plus efficace que ma méthode de dichotomie, qui je ne sais même pas si elle est applicable. C'était juste un exemple pour dire que les logiciels se basent sur des calculs de ce type.

En revanche pour voir si une racine est multiple une fois qu'on en a trouvé une il suffit de regarder si elle est également racine des dérivées successives

[membreComplexe12]

d'accord, merci fitzounet

[indian58]

Sturm donne le nombre de racines dans un intervalle quelconque.

L'avantage de Newton (valable dans R,C, ou R^n) est sa grande vitesse de convergence par rapport à la dichotomie : 2^2^n contre 2^n. L'inconvénient est qu'il ne converge pas tout le temps. Afin de trouver l'ensemble des racines, il y a l'algo de Bairstow. Où sinon y a Hubbard, Schleicher et Sutherland qui avaient étudié les "bonnes" conditions initiales pour Newton.

Si ça t'intéresse, j'avais fait un tipe là-dessus.

[membreComplexe12]

merci indian mais je crois que ces le TIPE que tu l'avais fait passé l'autre fois ?
=> je n'avais que regardé la meethode de Newton dessus, je vais regardé plus precismenet

A+

[indian58]

Euh oui, tu as raison. Mais une méthode "générale" est Bairstow qui utilise Newton.

[membreComplexe12]

merci tous pour votre participation !!!!