Analyse complexe Majoration de fonction

[jinmu]

Bonjour,

Soit et une fontion continue et holomorphe sur . On suppose que ( est la frontière de ), et qu'il existe et tels que:

Montrer que

Indication:

 Cliquez pour afficher

Soit

Considérer la fonction et appliquer le principe du maximum sur des rectangles bien choisis.

Je ne suis pas certain de ce que j'ai fait, et je n'arrive pas à terminer l'exo. Une aide? Merci d'avance. Voici ce que j'ai fait en balise spoiler aussi:

 Cliquez pour afficher

Je trouve

et

Trouvez-vous pareil?

Au niveau du choix des rectangles, je pensais choisir , ce qui me permet d'avoir sur le bord des rectangles choisis, et donc d'avoir avec le principe du maximum, sur l'adhérence des rectangles choisis, ce qui donne

je n'arrive pas ensuite à exploiter cette inégalité pour conclure...

-----

[jinmu]

Désolé du double post.

Je me suis rendu compte que je ne pouvais pas écrire ma dernière inégalité: à partir de ce que j'ai écrit auparavant. Je suis donc bloqué au point précédent sur l'adhérence des rectangles choisis.

[jinmu]

Bonjour,


J'ai repris l'exercice. Je mets ce que j'ai fait et l'endroit où je bloque:

Je prends les rectangles . Ces rectangles sont des compacts donc admet et atteint son maximum sur . Le principe du maximum entraîne que ce maximum est atteint sur un des bords de ce rectangle.

On a donc: sur les bords des rectangles

Est-ce que le principe du maximum me permet d'écrire que sur l'adhérence des rectangles et plus généralement sur , on a:



?

Si je peux écrire ça il me suffirait de faire ensuite tendre vers 0 pour conclure que:

.

Cependant, je pense que je me suis trompé car je n'ai pas utilisé toutes les hypothèses de l'énoncé ...
Il doit peut être y avoir des arguments à donner pour pouvoir généraliser l'inégalité

à

Pourriez-vous me donner un coup de pouce? Merci d'avance.

[jinmu]

Bonsoir,


Je remonte mon message au cas où il serait passé inaperçu. Je suis toujours bloqué au point où j'essaye de généraliser à ce que j'ai trouvé sur les rectangles en utilisant le principe du maximum, et je n'ai pas trouvé de r qui marche... J'ai pensé éventuellement à un raisonnement par l'absurde, en tentant de montrer que si sur alors n'est pas majorée par 1 sur , mais cela ne semble pas marcher...

L'un(e) de vous aurait-il (elle) une idée? Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

Il me semble déjà qu'il faut procéder avec un peut plus de soin : il y a un certain nombre d'erreurs qui empêche de trouver un bon raisonnement, et de graves problèmes de notation (des supremums sur d'une fonction de ...).

Soient et des un réels strictement positifs. On calcule simplement que pour tout nombre complexe , alors . On en déduit que si ou , et si et .

Ensuite, on utilise la première hypothèse sur (bornée en module par sur les droites d'équation et ) : si ou , alors . Puis, on utilise la seconde hypothèse sur : si et , alors . D'après le principe du maximum, on a :



Maintenant, on fixe . Alors, pour tout et pour tout , on a :



A fixé, on peut choisir de telle sorte que soit plus petit que . On a alors :



et ce pour tout . Or converge uniformément sur vers quand tend vers ; en passant à la limite, on obtient :



Comme ceci est vrai pour tout , on a finalement le résultat souhaité :

[jinmu]

Merci Garf. Je vois mieux mes erreurs. Il y a juste un point que je ne suis pas certain d'avoir compris:

Lorsque tu écris si ou , je ne vois pas comment on arrive à ce résultat. En effet, je trouve plutôt pour tout .

[Garf]

Merci de le faire remarquer. C'est une bête erreur d'inattention ; on a si ou .