Bonjour, j'ai un exercice d'algebre portant sur la reduction des endomorphisme/matrices.
Et j'ai du mal sur la question préliminaire.
Il faut montrer que :
Sachant que f est un endo deet que
Merci beaucoup de votre aide !
Bonjour,Envoyé par scemamadan
Il faut montrer que :
Sachant que f est un endo de
on peut commencer par démontrer que la somme est bien directe en utilisant la division euclidienne de
puis démontrer la double inclusion :
La première est facile, la deuxième nécessite une petite astuce de décomposition du type :
Bonjour,
Une autre manière un peu plus générale (et qu'il peut-être utile de connaitre car celle du lemme des noyaux, qui est un résultat assez important de réduction) de prouver la seconde inclusion :
Le fait que λ n'est pas racine de P signifie que P et (X-λ) sont premiers entre eux. Par le lemme de Bezout, on a alors l'existence de deux polynômes Q et R tels que Q(X)*P(X)+R(X)*(X-λ)=1. On a donc Q(f)*P(f)+R(f)*(f-λId)=Id.
Soit alors x dans Ker((f-λId)*P(f)) : on pose y=Q(u)*P(u)(x) et z=R(f)*(f-λId)(x). On a alors clairement x=y+z. Il te reste alors à prouver que z est dans Ker(P(f)) et y dans Ker(f-λId) et tu obtiens la somme.
Puis tu prouve que Ker(P(f)) inter Ker(f-λId) est nul par une méthode assez similaire.
Je te laisse réfléchir
Silk
La premiere inclusion B C A ne me parait pas si simple, la méthode est de prendre un vecteur x de l'ensemble B et de montrer qu'il est bien dans l'ensemble A c'est bien ça ? Alors je bloque..La première est facile, la deuxième nécessite une petite astuce de décomposition du type : avec la bonne valeur de ...
