prolongement et dérivée

[maxwellien]

Bonjour,
Tout d' abord j'aimerai en savoir plus ce qui est un prolongement d' une fonction et savoir aussi si une fonction avec un prolongement en un point admet un nombre dérivé.
Merci
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[invite705d0470]

Généralement, prolonger une fonction à pour but de rendre cette nouvelle fonction continue, et si possible dérivable en ce point.
Un exemple vraiment très très simple, juste pour comprendre l'idée: considère la fonction qui n'est pas continue en -1. Si tu la prolonges par continuité en posant si x est différent de -1, et , alors cette nouvelle fonction est continue sur R et même dérivable. (Dans ce cas très simple elle correspond à !)

Souvent la dérivabilité est recherchée.
Regarde par exemple la fonction . Elle n'est pas continue en 0. Maintenant, si tu poses par exemple , que se passe-t'il ?
Tu as qui est différent de la valeur que tu as (enfin que j'ai ^^) choisi: pour avoir continuité au minimum, regarde la limite de ta fonction aux points de discontinuités !
De même vérifie qu'avec ta nouvelle valeur la dérivation est rendue possible: en encadrant habilement sinus. Donc ce prolongement permet d'obtenir et la continuité et la dérivabilité en 0

[maxwellien]

OK et merci j'y vois plus clair maintenant

[invite1c6b0acc]

Bonjour,
Et sinon, plus généralement, la réponse est non : le fait de prolonger une fonction par continuité n'implique pas qu'elle soit dérivable, dans le cas général.
Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]