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Prolongement analytique??



  1. #1
    rapasite

    Prolongement analytique??


    ------

    Bonjour j'aimerai comprendre comment prolonger la fonction factorielle par exemple.

    Si j'ai bien compris, le prolongement analytique reviens a étendre le domaine de définition d'un fonction en recherchant des cercles de convergence qui contiennent des nouvelle valeurs qui n'était pas dans le domaine de définition a la base.

    merci de votre aide.

    -----
    L'aigle ne chasse pas les mouches.

  2. #2
    g_h

    Re : Prolongement analytique??

    Salut,


    Je te conseille la lecture de ce pdf :
    http://www.myoops.org/twocw/nctu/upl...%20theorem.pdf

    Tu peux y voir entre autres qu'il n'y a pas qu'une seule façon de prolonger la factorielle, il faut des hypothèses plus fortes que l'équation fonctionnelle qui définit la factorielle sur

  3. #3
    Ksilver

    Re : Prolongement analytique??

    Salut !


    le principe du prolongement analytique, c'est que quand tu as des fonction analytique (c'est à dire qui en tout point son développable en série entière, pour des fonction de R->R c'est une notion beaucoup plus forte que C^infini, pour des fonction de C->C c'est équivalent à holomorphe) alors si deux fonction son égales sur un domaine possédant des point d'accumulation (ca revient à dire que l'ensemble des x tel que f(x)=g(x) ne contiens pas que des points isolé...) alors les deux fonction sont égal sur tout leur domaine de définition.

    Du coup quand tu connais des valeurs d'une fonction sur un ensemble ayant des point d'accumulation, il existe au plus une facon de la prolonger en une fonction analytique sur un domaine plus grand (l'existence du prolongement n'est en revanche absolument pas garantie et dépend de ce qu'est le domaine plus grand... ). c'est ca qu'on appelle le prolongement anaylitique.

    mais pour la fonction n! ca ne fonctionne pas : elle est défini uniquement sur les entier, et l'ensemble des entier n'as pas de points d'accumulations (enfin, à part l'infini, mais ca compte pas) du coup tu as aucune raison d'avoir l'unicité du prolongement, et en effet il y a plein de facon de prolonger n! : il y a la bien connu fonction Gamma d'Euler, mais on peut aussi lui ajouter n'importe quel fonction qui s'anule sur tout les entier >0, et considérer par exemple,
    Gamma(z)+1/gamma(-z) ou encore Gamma(z)+sin(Pi.z)

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