Fonction continue et existence d'un inf

[invite3d4a2616]

Bonjour,

n'ayant pas de correction sur l'exercice suivant, j'aimerai avoir votre avis sur la validité de mes réponses :

Ex : soit f une fonction continue de R dans R telle que .

a) Montrer que est compact.
b) Montrer qu'il existe x ₀ dans R tel que .

Mes réponses :
a) est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue, donc K est un fermé de R.
De plus, .
Pour
Donc B est un majorant de K et -B un minorant de K, ainsi K est borné. Or, les fermés bornés de R sont des compacts, donc K est compact.

b) K est compact et f continue sur K donc f atteint son inf sur K i.e .
Soit x un réel quelconque :
- si alors par definition de l'inf
- si alors .

Donc, .

Qu'en pensez-vous ?
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[invite34b13e1b]

c'est tout bon. Pour la culture, les fonctions qui tendent vers l'infini en l'in fini s'appellent les fonctions coercives.

[invite3d4a2616]

ok merci pour ta réponse et pour l'info que je ne connaissais pas.