Sous-espace stable

[invite282d0678]

Bonjour,

dans l'exercice qui suit j'ai réussi la première question mais je coince à la deuxième.

Soient un endomorphisme de et une forme linéaire non nulle sur . Soit le noyau de .

1) Montrer : stable par si et seulement si .

2) Application : trouver les plans stables par f canoniquement associé à la matrice :

J'ai essayé de trouver un qui vérifie l'égalité de la question 1), en posant canoniquement associé à
Je tombe sur le système suivant :


étant non nulle, pour j'obtiens :


Et pour :



Bon je suis pas sur que mon raisonnement tienne la route, et en plus je ne vois pas trop quoi faire de ça, quelqu'un pour m'aider svp ?
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[invite3d4a2616]

Bonjour,

sans être totalement sûr de moi :

les deux cas que tu donnes me semblent bons. Tu as donc 2 scalaires (1 et 2) et deux formes linéaires associées disons et telles que et . Donc, d'après 1) les plans stables que tu cherches sont les noyaux de et i.e et .

Attends toutefois d'autres réponses ....

Ce qui est sûr en revanche, c'est que 1 et 2 sont valeurs propres évidentes associées respectivement à e1 et e2. Donc Vect{e1} et {Vect2} sont des droites vectorielles stable par f, et donc Vect{e1+e2} est bien un plan stable par f.

[invite3d4a2616]

Erratum ! Je ne peux pas rectifier mon message précèdent donc ...

2 est vp associée à e3 et donc Vect{e3} est stable par f et par suite c'est Vect{e1+e3} qui est bien évidemment stable par f (et non Vect{e1+e2} comme je l'avais ecrit !).

[invite282d0678]

Ah bah oui, effectivement ça a l'air d'être ça, merci bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite282d0678]

En regardant un autre exercice, je me suis posé une question, basique à mon avis, mais je ne suis pas sur de moi.

Soit une forme linéaire de E dans K. Alors comment savoir ce à quoi correspond K quand il n'est pas mentionné. Est-il toujours forcément ou ? Par exemple en regardant l'exo juste au-dessus, est-ce forcément ? Je ne vois aucune raison qui ferait que ça ne le soit pas, mais j'ai un doute.

[invite3d4a2616]

Si on appelle E un espace vectoriel défini sur un corps commutatif K, une forme linéaire est une application linéaire de E à valeurs dans K. En général, K est R ou C, mais ce n'est pas une obligation. A toi de voir sur quel corps est défini ton ev de départ . Dans ton exercice, E = Rⁿ qui est un R-ev, donc tes formes linéaires sont à valeurs dans R. Je ne sais pas si c'est très clair ?

[invite282d0678]

Okok c'est clair oui, je pense avoir compris, merci.