simplification avec les bijections

[invite1d793136]

On me demande de simplifier les expressions suivantes sur les intervalles où elles sont définies:
arcos(cosx)=(après les = c'est moi qui suggère les réponses) donc là j'ai trouvé x
cos(arcosx)=x
cos(arcsinx)=arctan(x)
arcos(x)+arcos(-x)=2arcos(x)
arcosx+arcsinx=?
rapport avec sinxau carré+ cosx au carré=1?

merci d'avance
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[invited5b2473a]

1) non, plutôt x modulo pi.
2) oui
3) non
4) non

[invite1d793136]

Pourquoi non? Tu peux m'expliquer parce que je ne comprend rien. Et j'ai un controle dessus demain. Explique moi tout en détail comme si j'étais le roi des imbéciles. Svp

[invited5b2473a]

1) arccos est par définition une bijection de [-1;1] sur [0;pi]. Donc la réponse n'est pas x mais le reste de x modulo pi.
3) pour x =1, arctan(1)=pi/4 et cos(arsin(1))=cos(pi/2)=0. Je dirais plutôt cos(arcsin(x))=racine(1-x²).
4)pour x = racine(2)/2, arccos(x)=pi/4 et arccos(-x)=3pi/4. A vue de nez, je dirais plutôt arccos(x)+arccos(-x)=pi pour tout x dans [1;1].

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Très rapidement (d'autres auront surement le temps d'en dire plus):
- Fais attention aux ensembles de définition, notamment lorsque tu travailles avec une fonction et une récirpoque: elles ne sont définies que sur des ensembles très particulier. Par exemple, pour le premier cas, et arcos va de cet intervalle dans . Il faut donc que ton x de départ soit aussi dans l'intervalle !

Dans les autres cas, différentes méthodes existent, mais la plus courante est vraiment celle-ci: utilise les formules de trigo connues !
Pour la 3) utilise et remarque que tu peux enlever les valeurs absolues (attention, il faut que tu expliques pourquoi tu le peux, il suffit ici de montrer que cos est positif)
Parfois, lorsque tu sais ou suppose fortement que l'égalité = cte (i.e. que la fonction est continue), une autre méthode consiste à dériver la fonction et à montrer que sa dérivée est nulle sur un intervalle. La fonction conséidérée est alors constante et tu choisis une valeur particulière de x (0,1, ...) pour la fixer.
Typiquement pour la 4) (que je ne connaissais d'ailleurs pas): arccos n'est pas impaire ! Si tu poses , dérivable sur , sa dérivée est nulle sur cet intervalle (n'oublie pas de préciser que c'est sur un intervalle, c'est ce qui te permet d'intégrer et de dire que f est constante sur cet intervalle!). .

Retiens ces méthodes, et reste calme.

Bonne chance

[invited5b2473a]

Par exemple, pour le premier cas, et arcos va de cet intervalle dans . Il faut donc que ton x de départ soit aussi dans l'intervalle !

Si par "x de départ", tu entends le x de arccos(cos(x)), alors il peut-être n'importe quel réel. En revanche le résultat ne sera pas x mais sa valeur principale dans [0,pi].

[invited5b2473a]

Parfois, lorsque tu sais ou suppose fortement que l'égalité = cte (i.e. que la fonction est continue), une autre méthode consiste à dériver la fonction et à montrer que sa dérivée est nulle sur un intervalle. La fonction conséidérée est alors constante et tu choisis une valeur particulière de x (0,1, ...) pour la fixer.
Typiquement pour la 4) (que je ne connaissais d'ailleurs pas): arccos n'est pas impaire ! Si tu poses , dérivable sur , sa dérivée est nulle sur cet intervalle (n'oublie pas de préciser que c'est sur un intervalle, c'est ce qui te permet d'intégrer et de dire que f est constante sur cet intervalle!). .

Aaah, les joies de la dérivation...Dériver c'est bien mais c'est prendre des risques de se tromper. Alors que là, en faisant un bête dessin, on a le résultat immédiatement.

[invite1d793136]

donc pour arcosx+arcsinx
on a arc racine(1-sinaucarré de x)+ arcsinx

[invited5b2473a]

donc pour arcosx+arcsinx
on a arc racine(1-sinaucarré de x)+ arcsinx

Fais un dessin avec le cercle trigonométrique et tu verras que arccos + arcsin = pi/2.