Ecart sur les parties bornées

[Turgon]

Bonjour. Je voudrais savoir si la propriété suivante à une chance d'être vraie ou est grossièrement fausse (pas la peine de le démontrer)

Soit un espace uniforme et notons l'ensemble des parties bornées de (ici on considère que l'ensemble vide est borné). Pour un élément de notons le diamètre de (on considère que l'ensemble vide est de diamètre nul). On peut prouver que l'application:



est un écart (fini mais non séparé en général) sur ce qui dote d'une topologie d'espace uniforme.

Donnons nous maintenant un autre espace uniforme et soit alors un homéomorphisme entre et et supposons que et envoient une partie bornée sur une partie bornée (au pire, on pourra supposer que les espaces tout entiers sont eux-même bornés), la question que je me pose est la suivante:

L'appilcation:

est-elle un homéomorphisme de sur pour les topologies considérées?

Je ne demande pas forcément de démonstration, mais je ne voudrais pas me lancer a essayer de démontrer ça et qu'un grossier contre exemple m'ait échappé. Je ne demande qu'un avis "au nez" si vous voulez.

Merci d'avance et bonne journée !
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