Exo borne sup

[invitedfb63782]

comment calculer Sup(racine nième de n)
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[inviteea028771]

On étudie la fonction ?

On trouve qu'elle admet un maximum pour x=e, qu'elle est croissante sur ]0,e] et décroissante sur [e,+oo[, donc il reste à comparer les valeurs de et pour trouver le sup (qui ici est un max)

[invite705d0470]

Euh ... Si j'ai bien compris tu veux déterminer la borne sup de .
On a immédiatement et même H non vide (trivial mais il faut le dire).

Mon point de vue est sans doute très naïf, mais je pense qu'on peut considérer la suite définie par et étudier son comportement.
Ou même, plus rapide, utiliser .
En effet, en dérivant cette fonction (elle est juste définie, dans notre cas, sur les réels strictement positifs), on obtient que f est croissante sur strictement et strictement décroissante sur . On ramène l'étude sur les naturels, en remarquant que f est majoré par e. On a donc montré, puisque les entiers naturels sont inclus dans les réels, que H est borné dans R: d'après le théorème de la borne sup il admet bien une borne sup, mais on peut faire mieux !
On a, par étude de la monotonie de f, puisque e est justement compris entre ces deux entiers.
On calcule et on trouve que .
On trouve finalement que , ce qui donne le résultat (la borne supérieure est atteinte: c'est le max).




Edit: Ah, grillé par Tryss ^^