bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour l'exo suivant:
E=Rn[X]
f :E-->E
P-->f(P)
f(P)(X)=P(2-X)
montrer que f est diagonalisable
je ne vois pas comment faire, j'ai essayé d'écrire la matrice de f dans la base B={1,X,...,Xn} mais sans succès
merci de votre aide
Indication :
oui j'ai pensé à ca, chercher un polynôme annulateur
le problème c'est que j'ai f²(P)(X)=P(2-P(2-X))
Euh, pas vraiment.Envoyé par 369
bon j'ai vérifié et effectivement c'est faux
voici ce que je propose:
f(P)(X)=P(2-X)
f(f(P)(X))=f(P(2-X))
f²(P)(X)=f(P)(2-X)=P(X)
donc (f²-idE) P(X)=0
P est différent du polynôme nul donc f²-idE=0
f annule le polynôme X²-1
à ce moment là j'utilise le polynôme minimal Pmin divise X²-1
mais comment prouver que Pmin=(X-1)(X+1)
si cela était vérifiée f sera diagonalisable car Pmin est simplement scindé et les valeurs propres sont -1 et 1
Tu n'as pas besoin de chercher le polynôme minimal, du moment qu'il soit scindé à racines simples, c'est ok. Enfin, pour répondre à ta question, si Pmin est X-1 alors f est l'identité et si Pmin est X+1, f est -Id.
d'accord merci
