application diagonalisable

[invite5ed89a16]

Bonsoir à tous, j'ai besoin de votre aide.
J'ai un exercice à résoudre et le problème est que je n'y arrive pas.J'espère que vous pourrez m'aider.
Enoncé: Soit E un Kev de dim finie n et soit p un projecteur de E
on considère h:f appartenant à L(E)-> pohop appartenant à L(E)
Est ce que h est diagonalisable?

Ce que j'ai fait: p est un projecteur donc pop=p
Je cherche en fait à montrer que h est un projecteur car je sais que tout projecteur est diagonalisable et donc je veux montrer que
hoh=h et la je bloque...
J'ai hoh=pohopopohop=poh²op

Pouvez vous me donner une indication???
Merci d'avance.
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[invite332de63a]

Bonsoir, es tu sûr de la définition de l'application de h ...?

[invite5ed89a16]

ah oui je me suis trompé: h c'est:
h:f->pofop

et donc j'arrive a hoh= pofopofop

[inviteaf1870ed]

Pourquoi h serait il un projecteur ?
Regarde quelle valeur propre est possible pour h ?
Regarde l'image de l'application Id par h, est ce que h peut être diagonalisable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ed89a16]

Bonjour ericc,
c'est juste moi qui ai eu l'idée de prouver que h était un projecteur car tout projecteur est diagonalisable.

Si je regarde l'image de id, j'obtiens:
h(Id)=poIdop=pop=p
donc h est diagonalisable.

[invite332de63a]

Bonjour,
h(id)=p projecteur implique h diagonalisable ? je ne pense pas ... tu sais que l'image de tout multiple de l'identité est un projecteur.
Quelle est la dimension de L(E) sachant que dimE=n ? L(E) isomorphe aux matrices carrées nxn.

[invite5ed89a16]

Bonjour roberto, tu as peut-être raison...
on a dim L(E)=n² et tu me dis que L(E) est isomorphe aux matrices carrées nxn; je suis d'accord mais je ne vois pas ce que je peux en faire.

[invitec7c23c92]

Bonjour,

C'est une bonne idée de montrer que h est un projecteur (c'est en effet le cas).

Mais tu t'es embrouillé dans le calcul de hoh, attention...

Pour f dans L(E), que vaut hoh(f) ?

[invite332de63a]

Mon L(E) isomorphe au matrices nxn c'était pour te dire que une matrice d'une application d'application est donc de dimension n²xn² donc il faudrait que tu trouve n² valeurs propres voilà tout ^^

[invite5ed89a16]

Bonsoir, je crois avoir trouvé mon erreur...
Pour f dans L(E),
hoh(f)=h(h(f))=h(pofop)=po(pof op)op=pofop=h(f)
donc h est un projecteur et donc h est diagonalisable, c'est bien ça?

[invite332de63a]

Voilà c'est bien çà ^^ tu as bien montré que h est un projecteur.

[invite5ed89a16]

ok merci à vous tous pour votre aide