fonction continue

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour l'exo suivant:
Soit fn:R-->R une suite de fonctions continues. Soit également f:R-->R une fonction telle que fn converge uniformément vers f sur R

1) montrer que f est une fonction continue
2) soit (Un) une suite qui converge vers une limite l dans R montrer que fn(Un) tend vers f(l) quand n tend vers +oo

pour la 1) j'ai fais ceci:
soit et a>0
pour tout x,y dans R, |y-x|<=a => |fn(y)-f(x)|<
|f(y)-f(x)|=|f(y)-fn(y)-f(x)+fn(y)|<=|f(y)-fn(y)|+|fn(y)-f(x)|< d'après ce qui précède
donc f est continue sur R
est ce bon?

Pour la 2):
comme (Un) converge vers l
pour tout , il existe N dans N tel que n>=N => |Un-l|<
mais après comment poursuivre?


merci de votre aide
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[invite3d4a2616]

pour la 1) j'ai fais ceci:
soit et a>0
pour tout x,y dans R, |y-x|<=a => |fn(y)-f(x)|<

Il me semble que tu fais un mélange entre continuité et limite.

Ici, tu as la traduction de l'uniforme convergence qui s'écrit plutot comme cela :

[invite3d4a2616]

Ensuite, tu décomposes ta valeur absolue initiale en 3 differences (et non 2 comme tu l'as fait).

[invite371ae0af]

quelqu'un aurait-il une idée pour la seconde question?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

quelqu'un aurait-il une idée pour la seconde question?

Il faut que tu traduises également l'hypothèse sur la convergence uniforme et la continuité des fn.

[invite3d4a2616]

Oui,
si tu appelles :

N₁ le rang à partir duquel |u_n-l| < epsilon

N₂ le rang à partir duquel |f_n(l)-f(l)| < epsilon/2

En utilisant la continuite des f_n , en posant N=max{N₁ ; N₂} et en decomposant, tu dois pouvoir y

arriver.

[invite371ae0af]

merci j'ai réussi