J'essaie de bien comprendre la notion de différentielle

[invited8535f28]

Bonjour à tous !
dernièrement j'ai entamé un cour du calcul différentiel, et j'essaie de bien assimiler cette notion
je sais bien que si f est différentiable en Xo alors :
f(Xo+h)= f(Xo)+df(xo)(h)+N(h)G(h)
avec g(h) une fonction qui tend vers 0 quand h tend vers 0
df est la partie linéaire de l'accroissement entre Xo et Xo+h
donc en disons que f est différentiable en Xo est ce qu'on dit qu'elle admet une partie linéaire de son accroissement ou quoi exactement ? et si elle n'est pas différentiable qu'est ce que ça veux dire concretement ? et que vaut cette différentielle graphiquement ( juste une petite idée )
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[invited5b2473a]

Considère le cas "simple f:R->R. alors df(x0)(h)=h*f'(x0).
Dans le cas f:R^n->R, df(x0)(h)=grad f|x0 scalaire h.

UNe facçon de voir les choses est de se dire que df(x0)(h) représente la pente de la tangente au point x0 dans la direction h.

[invite0931ef5e]

Si tu es en dimension une (une variable dans l espace de départ) la differentielle de ta fonction est le produit des dérivée (un produit de droite) ou simplement la dérivée si tu arrive en dimension 1. Une fonction affine simplement dans ce cas, c'est à dire une droite associé à un point de f(x).
mais si tu pars d'un espace de dimension 2, l'idée est de visualiser en chaque point (a1,a2) ta fonction f comme une application linéaire partant de R^2 dans ton espace d'arrivé. Si l'espace d'arriver est R (si c'est R^n c'est a peine plus compliqué, dans ce cas c'est le produit des différentielle) ton application linéaire en un point (a1,a2) de R^2 sera l'hyperplan tangeant a ta courbe f(x,y) dans l'espace a 3 dimension qui a a1 et a2 assoccie f(a1,a2) (vois une sorte de montagne) de sorte qu'a chaque point (a1,a2) correspond un plan tangeant (dirigé donc par 2 vecteurs) a ta courbe (x,y)->f(x,y) dans R^3 passant par f(a1,a2) et de base ( et )
tu généralisera facilement le cas ou l'espace de départ est de dimension > 2.

[invite0931ef5e]

Si tu es en dimension une (une variable dans l espace de départ) la differentielle de ta fonction est le produit des dérivée (un produit de droite) ou simplement la dérivée si tu arrive en dimension 1. Une fonction affine simplement dans ce cas, c'est à dire une droite associé à un point de f(x).
mais si tu pars d'un espace de dimension 2, l'idée est de visualiser en chaque point (a1,a2) ta fonction f comme une application linéaire partant de R^2 dans ton espace d'arrivé. Si l'espace d'arriver est R (si c'est R^n c'est a peine plus compliqué, dans ce cas c'est le produit des différentielle) ton application linéaire en un point (a1,a2) de R^2 sera l'hyperplan tangeant a ta courbe f(x,y) dans l'espace a 3 dimension qui a a1 et a2 assoccie f(a1,a2) (vois une sorte de montage) de sorte qu'a chaque point (a1,a2) correspond un plan tangeant (dirigé donc par 2 vecteurs) a ta courbe (x,y)->f(x,y) dans R^3 passant par f(a1,a2) et de base et
tu généralisera facilement le cas ou l'espace de départ est de dimension > 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0931ef5e]

il faut aussi bien noté que la différentielle est une application linéaire, qu'elle passe pas par 0, c'est pour ca que dans ta formule tu as f(a)+df(a), pour la translaté a ta courbe. De même que la dérivée d'une fonction de R dans en R en un point f(x) est une droite passant par 0 : h->f'(x)h, et en ajoutant f(x) tu as le développement limité qui donne tout l'interet aux dérivées

[invited8535f28]

ah j'y vois plus clair maintenant, ce que veux dire cette notion, mais que dirions nous si notre fonction n'est pas différentiable en un point ? par exemple pour le cas d'une fonction à deux variables, est ce que ça veut dire que l'hyperplan est vertical ?

[Amanuensis]

ah j'y vois plus clair maintenant, ce que veux dire cette notion, mais que dirions nous si notre fonction n'est pas différentiable en un point ? par exemple pour le cas d'une fonction à deux variables, est ce que ça veut dire que l'hyperplan est vertical ?

Pas nécessairement. Cela peut être un point "anguleux", à l'instar de 0 pour la fonction x -> |x| : la fonction n'est pas dérivable parce que la dérivée à droite n'est pas égale à la dérivée à gauche.

Pour les différentielles c'est un peu pareil. Par exemple (x,y) --> sqrt(x²+y²) n'est pas différentiable en (0,0)