convergence normale

[invite371ae0af]

bonjour,

comment montrer que la série (n>=p+1) fn(t)= converge normalement sur [p-(1/2),p+(1/2)] avec p dans N

je sais qu'il faut chercher sup|fn(t)| mais est ce que je peux étudier les variation de fn(t) ou bien je dois étudier |fn(t)|?

j'aurai encore une autre question:
pourquoi la fonction f(x)=exp(1/x²) si x non nul et 0 si x=0 n'est pas développable en série entière?
je sais que |f⁽ⁿ⁾|<=M mais ici c'est le cas non puisque si je regarde la limite de x en +oo ca fait 0

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

je sais qu'il faut chercher sup|fn(t)| mais est ce que je peux étudier les variation de fn(t) ou bien je dois étudier |fn(t)|?

Tu peux étudier les variations de f_n(t) pour en déduire le comportement de |f_n(t)|.

pourquoi la fonction f(x)=exp(1/x²) si x non nul et 0 si x=0 n'est pas développable en série entière?

Cette fonction n'est pas développable en série entière au voisinage de 0 parce qu'elle est discontinue en 0.

Si tu remplaces exp(1/x²) par exp(-1/x²) dans ta définition, ce n'est toujours pas développable en série entière au voisinage de 0 parce que toutes les dérivées successives s'annulent en 0.

[invite371ae0af]

merci de ta réponse
mais dans ce cas,quels sont les critères pour qu'une fonction soit développables en séries entières? je n'ai vu que celui où les dérivées doivent être bornées

comme sup de fn(t) je trouve

dans ce cas sup |fn(t)|= ?

j'aurai encore un question: peut on utiliser les équivalents si une séries est à termes non positifs?

[invite57a1e779]

Les dérivées sont nulles en 0, mais cela n'assure pas les majorations pour que la fonction soit développable en série entière.

[A voir en vidéo sur Futura]