Bonsoir,
Dans un exercice de calculs différentiels, on me propose de faire une démonstration du fait que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans R.
On considère A une matrice réelle symétrique d'ordre n et on munitdu produit scalaire euclidien.
On nommela sphère unité et on définit
l'application
qui est de classe
sur
.
Dans un premier temps, j'ai montré que siadmettait un extremum local en
sur
, alors
était valeur propre de A. J'ai utilisé les multiplicateurs de Lagrange pour cela.
On me demande alors dans conclure que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable sur R. J'ai essayé la démonstration suivante. Toutefois j'ai un doute certain sur sa validité.
L'idée est de procéder par récurrence sur l'ordre de la matrice A.
On remarque queest continue sur
qui est un compact de
. Donc
admet un minimum global sur
qui est donc a fortiori un minimum local sur
.
Je noteun vecteur pour lequel ce minimum est atteint et
le multiplicateur de Lagrange correspondant. On a
En utilisant le procédé de Gram-Schmidt, je complèteen une base orthonormée
. Je pose
.
Je sais alors que F est stable par l'endomorphisme correspondant à la matrice A. On en déduit que :
Il est alors facile de montrer que C est une matrice symétrique. On peut appliquer la même procédure à la matrice C en remplaçantpar
.
Donc :
Merci de votre relecture.
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