Probleme sur une matrice symétrique réelle

[Gpadide]

Bonjour, j'aimerais de l'aide sur ce probleme tiré de l'epreuve X maths II MP 2005 question 5a:

on considere la matrice An de Mn(R)composée de :
- une diagonale de zeros
- deux diagonales de 1 respectivement en dessous et au dessus de la diagonale de zeros
-que des zeros ailleurs.

Le but est de montrer que :
4-6/n<=||An||²<4

où ||A||=sup{||Ax||, ||x||<=1}, la norme considérée etant celle associée au produit scalaire canonique. (Des resultats préliminaires, concernant cette norme, a établir en premiere partie figurent dans l'enoncé, et peuvent aider a conclure).

Il est par ailleurs conseillé d'ecrire 4||x||²-||Anx||² sous forme d'une somme de carrés de termes...

J'arrive a montrer l'inégalité stricte de droite, mais pas celle de gauche. Je sais simplement que si l'on considere le vecteur x=(1,1,1,...,1) on obtient 4||x||²-||Anx||²=6, ce qui me semble etre une bonne piste mais ne permet pas de conclure...

Enfin, le corrigé que j'ai (UPS) propose une autre methode qui consiste a remarquer que

Pn(2cos(v))= [sin (n+1)v] / [sin(v)]
pour 0<v<pi

où Pn(X)=det(Xid-An), et la je ne comprends pas du tout d'ou peut provenir cette égalité...

Voila j'espere que le temps que j'ai pris a rédiger ce post aura servi a le rendre suffisamment clair car je nage depuis plusieurs jours sur ces 2 points, que je vous remercie d'avance de mettre en lumiere ((=
Amicalement.
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[invite6b1e2c2e]

Enfin, le corrigé que j'ai (UPS) propose une autre methode qui consiste a remarquer que

Pn(2cos(v))= [sin (n+1)v] / [sin(v)]
pour 0<v<pi

où Pn(X)=det(Xid-An), et la je ne comprends pas du tout d'ou peut provenir cette égalité...

Salut,

Allez, je me lance. Au moins sur ce point. D'où ça vient ? Tout d'abord, le taupin doit reconnaître ici le polynôme de Tchebycheff (orthographe qu'on peut discuter, mais nécessairement partisane quand on ne connaît pas le russe ). Ensuite, pourquoi le polynôme de Thcebycheff va marcher ? Tout d'abord, parce que quand on le calcule, ça marche. Bon, ok, ce n'est pas très convaincant, mais c'est vrai.
Je vais donc te donner mon interprétation : Ca vient des Equations aux dérivées partielles. En effet, imagine que tu veuilles résoudre sur (0,1) avec des conditions au bord P(x=0) = 0 = P(x=1). Alors tu vois assez facilement que les solutions sont des sinus, et que les seuls lambda possibles sont des k Pi. (NB : Ca redonne aussi la quantification de l'énergie dans un cas très simple, ça fait toujours classe de le dire ). Bon maintenant, imagine que tu veuilles discrétiser ton problème, par exemple pour le rentrer dans un ordinateur. Tu approches la dérivée seconde par différences finies, ie, tu définis ta fonction en un nombre fini de points x_j (mettons que tu en as N+1 = 1/h) et tu écris
.
Ce que tu fais alors, c'est chercher les valeurs propres d'une matrice qui ressemble furieusement à la tienne, à un facteur multiplicatif près :
2 sur la diagonale, -1 sur les diagonales supérieure et -1 sur les diagonales inférieures. (A comparer à ta matrice - 4id).

hé hé, là c'est quasiment gagné, parce qu'en fait les vecteurs propres de cette matrice correspondent exactement aux vecteurs propres du cas continu. Donc, tu diagonalises ta matrice "facilement" et tu connais ses valeurs propres.

Autre chose, quand on te demande de décomposer en somme de carrés, je n'ai pas besoin de faire le calcul : En fait, il s'agit d'une intégration par partie discrète :

Te donnera en discret que la somme qu'on te demande est en fait


Remarque bien que sans indication, je ne sais pas trop si on peut trouver tout ça tout seul. Mais avec le recul, c'est vraiment comme ça que je crois que l'exercice a été créé.

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rvz

[Gpadide]

Merci pour ton aide, mais je n'ai pas compris tout ce que tu as ecris apres "Salut, Allez je me lance."
Je me suis qd mm documenté sur les polynomes de tchebychev, que j'avais deja rencontrés mais que je ne connais pas par coeur. Or, d'apres Wikipedia, la relation de récurrence vérifiée par ceux si est :
T_n+2(X)=2XT_n+1(X) - Tn(X) alors que dans l'enoncé dont je parle, il ya le "2" en moins. Je pense qu'on peut toutefois faire un parallele, c'est ce qu'a manifestement voulu dire l'auteur de ce satané corrigé.
Si tel est le cas, j'aimerais avoir un lien me permettant de voir la démonstration qui permet de passer de cette relation de récurrence, a la formule avec les sinus...
Merci davance.
(PS, j'attends toujours une idée pour le premier point, je rappelle que mon niveau est de l'ordre du taupin médiocre, MP)

[invite6b1e2c2e]

Salut,

La méthode que tu mentionnes pour les polynômes de Tchebycheff est pertinente, mais peu explicite.
Je te suggère plutot la méthode suivante :

Après, tu peux développer tout ça par la formule du binôme, et comme tu ne regardes que la partie imaginaire, il y a des conditions de parité qui vont sortir qui vont impliquer que tu vas pouvoir écrire tous les monomes de la forme sin(a) cos(a)^k. Je te laisse le soin d'écrire les détails.
Pour la relation de récurrence donnée par Wiki, en fait, c'est juste la formule


Pour ton "2", je dirai que c'est pas très grave : Etudier la matrice A ou étudier la matrice A+ 2 I, ça revient à peu près au même.

Pour le premier point, je n'ai pas trop d'idée. Si c'est écrit, c'est que ça doit être vrai, mais après, pourquoi, je ne sais pas. Ou alors, j'ai peut-être fait une erreur dans la formule que j'ai donné précédemment : Peut-être que ||Ax||^2 - 4||x||^2 = 1/n^2 * somme que j'avais donnée. Il faudrait vérifier les calculs. Si c'est ça, et il y a certaines raisons qui me font penser que c'est peut-être le cas, alors, le point 1 devrait pouvoir en découler.

PS : Ne te dévalorise pas comme ça. Qu'est ce que c'est qu'un taupin médiocre ? Si c'est un taupin qui n'arrive pas à faire un exo d'oral de l'X, je dois confesser que j'en connais un paquet ...

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rvz

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