Serie de Taylor

[invite263c6afb]

Coucou tout le monde!

Voila j'ai vu dans un bouquin que |sin(pi*x)| < |pi*x|, et j'ai pas trop bien compris pourquoi, j'aimerais me démontrer, mais je coince un peu...
J'ai pensé au developpement limité (Taylor), mais ca n'avance pas...
Quelqu'un pour m'éclairer??


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[albanxiii]

Bonjour,

Vous pouvez utiliser Taylor-Young ou Taylor avec reste intégral pour montrer l'inégalité dans les valeurs absolues, et ensuite regader ce qui se passe pour x négatif.

Mais le plus simple ici est d'étudier la fonction définie par .

[invite263c6afb]

d'accord, pas mal la seconde suggestion, donc montrer que sin(x)-x est négatif pour tout x donc montrer que sa dérivée et strictement décroissante?

[invite705d0470]

On peut aussi utiliser l'inégalité des accroissements finis

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite263c6afb]

connait pas!

[invite705d0470]

Attention aux valeurs absolues ^^
f ne sera négative que sur R+.
et donc f' est négative sur R. f est donc bien décroissante (ce qui est rassurant).
En particulier, ce qui donne la "première moitié" de l'inégalité.
Reste à regarder les valeurs négatives.

[invite705d0470]

Ahah, dommage, c'est bien pratique ici
Mais ce n'est pas la seule méthode (la preuve !).