Algèbre diagonalisation

[invitec9ce11c9]

Alors voilà,je galère sur un problème d'algèbre (je suis en pleine révision) voilà le sujet :

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http://uppix.net/2/2/2/f0c8c4882efa7...8e2bf81d08.jpg

La galère est sur le premier exercice :
La première question est résolue (je pense en tout cas ^^') :

Après calculs, le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P(x) disons) est P(x) = -x^3 + x + 1
P(x) est impair, donc s'annule forcément au moins une fois, et on a P(1)>0 et P(2)<0, (et le signe de P(x) reste constant après ces valeurs) donc il existe bien un unique lambda telle que P(lambda)=0 avec lambda entre 1 et 2.

Mais, pour la question (ii), je ne vois pas comment prouver la chose... On a P(x) scindé dans C (ensemble des complexes) ce qui prouve la trigonalisation, mais, je ne parviens pas à démontrer la diagonalisation...

Quant à la question (iii) elle m'est totalement opaque

Merci d'avance!
(désolé pour ma présentation du problème un peu... foireuse )
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[Seirios]

Bonjour,

Ta justification de l'unicité de la valeur propre réelle n'est pas très propre, tu ne montres pas qu'il ne peut y avoir qu'une seule racine entre 1 et 2, tu montres simplement qu'il n'y en a pas ailleurs.

Pour la question (ii), tu sais que P admet une unique racine réelle, donc tu peux l'écrire sous la forme . Donc P est scindé à racines simples, A est par conséquent diagonalisable.

A partir de là, tu devrais pouvoir résoudre la question (iii).

[invitec9ce11c9]

Merci de ta réponse, je m'en suis effectivement sorti à partir de là.
Merci encore!