série entière de même rayon

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai savoir si ce que j'ai fais est bon pour cet exo:

Soit une série entière de rayon de convergence R. Déterminer le rayon R' de

voici ce que j'ai fais:
par d'alembert, |a_n+1/an| tend vers l>=0 et R=1/l
donc |a_n+1/an| ² tend vers l² et du coup R'=R²

R= R' lorsque R=1,+oo,0

merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Tu ne peux utiliser le critère de d'Alembert. La suite peut s'annuler.

[inviteea028771]

Surtout que le rayon de convergence peut être plus grand que R.

Par exemple si on a :



Alors R=1 mais R'=+oo

[Tiky]

Oui en fait il ne faut pas utiliser d'Alembert car ce n'est qu'une condition suffisante pour qu'une série admette R comme rayon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Tu peux montrer que R' >= R^2.

Soit tel que converge. Alors la suite tend vers 0 et il existe
donc un rang N à partir du quel la suite est plus petite que 1.

Donc .

On a donc montrer que si converge absolument, alors aussi.

Donc pour tout , converge absolument. Or tout nombre complexe est un carré d'un nombre complexe.

[invite371ae0af]

merci à vous 2

mais y-a-t-il une méthode qui marche à tous les coups pour ce type d'exo?

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Prend z'=z^2 et remplace le dans la deuxième série on retrouve Somme des (a(n).z^n)^2.
Sachant que ( IR, l l ) est complet, alors on étudiera l'absolue convergence.
On prend r=lz'l<R^2.
On a (a(n).r^n) tend vers 0. donc a partir d'un certain rang (a(n).r^n)<1, i.e. ((a(n).r^n))^2<l (a(n).r^n) l donc sans problèmes, la deuxième série est absolument convergente donc convergente.
Encore; par définition, le rayon de convergence est le plus grand réel pour lequel (a(n).r^n) est bornée <=> (a(n).r^n)^2 est bornée.