diamètre d'une partie

[invite76db3c86]

BOnjour,

j'ai lu que l'on définissait , sur un espace métrique , le diamètre d'unr partie A de E , par la borne sup des distances possibles entre les points de A.

Ma question est donc : si l'on définit une topologie induite par la distance sur E (ou plus simplement sur A) , peut on définir une application de T(la topologie) dans IR+ qui à chaque partie élement de T associe son diamètre ?

Si oui , alors je me pose la question suivante : peut on définir une partie A d'un espace métrique E (on munie préalanlement A d'une topologie induite par la distance) tq cette dernière application soit une bijection de T dans IR +

EN gros je me demandais si on pouvait définir une partie d'un espace métrique ou l'on peut définir une topologie tels que les ouverts de T soit des ensemble qui ont tous des diamètre différents .

Dans ce cas , les ouverts peuvent ils ne pas etre inlus les un dans les autres ?

Merci d'avance
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[invite76db3c86]

BOnjour,

j'ai lu que l'on définissait , sur un espace métrique , le diamètre d'unr partie A de E , par la borne sup des distances possibles entre les points de A.

Ma question est donc : si l'on définit une topologie induite par la distance sur E (ou plus simplement sur A) , peut on définir une application de T(la topologie) dans IR+ qui à chaque partie élement de T associe son diamètre ?

Si oui , alors je me pose la question suivante : peut on définir une partie A d'un espace métrique E (on munie préalanlement A d'une topologie induite par la distance) tq cette dernière application soit une bijection de T dans IR +

EN gros je me demandais si on pouvait définir une partie d'un espace métrique ou l'on peut définir une topologie tels que les ouverts de T soit des ensemble qui ont tous des diamètre différents .

Dans ce cas , les ouverts peuvent ils ne pas etre inlus les un dans les autres ?

Merci d'avance

si ma question n'a aucun sens mathématique , merci de le préciser quand meme

[invite76db3c86]

hum?

[invite76db3c86]

quel suspens ! :lonely: ne me laissezpas me coucher aussi con qu'ihier ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76db3c86]

intuitivemment , je dirai que si l'on muni un espace métrique d'une topologie tel que chaque ouvert ait un diamètre différent , et dont tous les ouverts correspondent à un réel positif en terme de diamètre , alors ces ouverts sont soit emboités , soit disjoints ...

Qu'en pensez vous ?

après je sais pas si on peut définir une telle topologie , qui serait "infinie" : j'ai l'impression que l'espace ne serait plus séparé , donc plus métrique .

[invite76db3c86]

merci quand même,

[Seirios]

Ma question est donc : si l'on définit une topologie induite par la distance sur E (ou plus simplement sur A) , peut on définir une application de T(la topologie) dans IR+ qui à chaque partie élement de T associe son diamètre ?

Oui, bien sûr.

Si oui , alors je me pose la question suivante : peut on définir une partie A d'un espace métrique E (on munie préalanlement A d'une topologie induite par la distance) tq cette dernière application soit une bijection de T dans IR +

Ce qui est sûr, c'est que ce n'est pas toujours possible : dans un ensemble muni de la distance triviale, les diamètres des parties valent 0 ou 1 donc on est loins d'avoir la surjectivité ; si cet ensemble est de cardinal au moins deux, on n'a pas non plus l'injectivité, puisque tout singleton est ouvert et de diamètre nul. D'ailleurs, tout espace métrique est isométrique à un espace métrique ne vérifiant pas cette propriété : on peut toujours trouver une distance équivalente qui soit bornée (et donc on perd la surjectivité).
Il y a plein d'exemple où la surjectivité est atteinte, IR en est un. Pour l'injectivité, je ne sais pas trop. En général, on travaille sur des ensemble ayant une structure plus riche que celle d'espace métrique, donc on demande une propriété d'invariance de la distance (par translation par exemple), et on perd souvent l'injectivité de cette manière. Mais il est possible qu'un exemple tordu convienne (mis à part l'exemple évident du singleton).

[invite76db3c86]

Oui, bien sûr.

Ce qui est sûr, c'est que ce n'est pas toujours possible : dans un ensemble muni de la distance triviale, les diamètres des parties valent 0 ou 1 donc on est loins d'avoir la surjectivité ; si cet ensemble est de cardinal au moins deux, on n'a pas non plus l'injectivité, puisque tout singleton est ouvert et de diamètre nul. D'ailleurs, tout espace métrique est isométrique à un espace métrique ne vérifiant pas cette propriété : on peut toujours trouver une distance équivalente qui soit bornée (et donc on perd la surjectivité).
Il y a plein d'exemple où la surjectivité est atteinte, IR en est un. Pour l'injectivité, je ne sais pas trop. En général, on travaille sur des ensemble ayant une structure plus riche que celle d'espace métrique, donc on demande une propriété d'invariance de la distance (par translation par exemple), et on perd souvent l'injectivité de cette manière. Mais il est possible qu'un exemple tordu convienne (mis à part l'exemple évident du singleton).

ah merci beaucoup npour votre réponse .

Je pensais qu'au contraire , le diamètre en tant qu'a^pplication d'une topologie dans IR+ ne pouvait etre bijective : ne pourrait on pas sinon construire une suite d'ouverts Vn "décroissantes" ,
minorée en quelque sorte par un singleton , et donc qui converge vers un ouvert V(de T à condition que T soit complète ... ce qui est obligatoire non ? ) . Si on considère diamètre comme continue , alors son application réciproque l'est aussi (bijectivité) , On aurait donc que la limite de Vn est l'image réciproque de la limite de la suite des dn= diamètre (Vn) , dont on peut montrer qu'elle converge vers 0 (on peut la faire converger vers 0).
On obtiendrait donc un singleton ouvert , ce qui s'oppose à la séparation ...

Après j'ai fait ça mais j'avance en terre inconnue : je sais pas si on peut manier ainsi les objet que j'utilise , enfin toujurs est il que mon intuition m'empeche de penser qu'un tel espace métrique existe .

On peut munir un singleton d'une topologie ?

[Seirios]

On peut munir un singleton d'une topologie ?

Oui. Il n'existe d'ailleurs qu'une seule topologie sur le singleton : .

Après j'ai fait ça mais j'avance en terre inconnue : je sais pas si on peut manier ainsi les objet que j'utilise

Il y a effectivement des problèmes dans ce que tu écris. Tu parles de continuité et de complétude sur une topologie, or une topologie n'a, a priori, aucune structure, donc pas de topologie ou de structure uniforme (et l'on ne peut pas parler de continuité ou de complétude).
Maintenant, pour l'idée de ton raisonnement, tu peux t'apercevoir qu'il ne peut pas aboutir : dans , l'on remarque que ne semble pas "converger" vers un singleton, mais vers l'ensemble vide.

Sinon, une première remarque me vient à l'esprit quant à ton problème. Si l'on note le cardinal de l'ensemble sur lequel on travaille, alors sa topologie T est de cardinal (puisque l'application diamètre est bijective). Or dans un espace métrique, chaque point à un système fondamental de voisinages dénombrable qui lui est unique, donc . L'égalité conduit à . Donc si l'ensemble sur lequel on travaille n'a pas la puissance du continu, on sait déjà qu'il n'existe pas de telle application.

Je vais continuer d'y réfléchir. En général, dans les espaces métriques, notre intuition n'est pas trop malmenée, contrairement aux espaces topologiques, donc je pense que tu as raison.

[invite76db3c86]

Euh en fait c'est juste une question de ma part : je viens de voir un cours sur la topologie les espaces métriques , et j'ai un peu "bavé" dessus parceque je trouve ça vraiment agréable et ludique pour l'esprit ...
En gros , je m'imaginait une topologie faite d'ouverts inclus les un les autres et où on passe continument d'un diamètre à un autre (surjectivité) ...

Effectivement , je parle de continuité dans un ensemble sans structure à priori , pourrait on le munir d'une structure convenable pour pouvoir parler de continuité ?

Pour l'exemple de ]0,1/n[ effectivement ce que je dis n'est pas vrai dans le cas général , mais je pensais que l'on pouvait construire une suite Vn décroissante (pour l'inclusion qui est une relation d'ordre) convergeant vers un ouvert V , qui soit un singleton , en incluant par exemple un élement a dans chaque V_n , de sorte que les V_n soient des voisinages de a par exemple .

Cependant , je serais très heureux si tu validais mon intuition par une démonstration rigoueureuse , meme si je n'étais intuitivement pas parti dans ce sens ...

Merci encore.


PS : je ne omprends pas bien le terme de "puissance du continu" , cela a t il un lien avec la dénombrabilité ?

[invite76db3c86]

Je sais je suis têtu , mais si on muni l'ensemble T (topologie de E) ... d'une topologie O tq : t appartient à O ssi il existe epsilon de IR+ pour tout V,V' de t , ldiam V - diam V'l < epsilon .

On remarque que les ensembles a_t= { ldiam V - diam V'l , V,V' appartiennent à t} sont des ouverts pour la topologie usuelle dans IR+ (notamment celle engendrée par la valeur absolue).


Ainsi , si a est un ouvert de IR + pour cette topologie usuelle , alors diam^-1 ( a ) appartient à O ....

Non ?

On peut donc trouver une topologie dans T qui rendent diam continue ...
Dès lors , je pourrai (si c'est vrai ...) appliquer mon raisonnement , en rajoutant quelques information sur les ouverts Vn ?

[invite76db3c86]

Je vois plusieurs absurdité à cette hypothèse (on va écarter celle du vide) .

On sait qu'un singleton est défini (du moins dans un espace métrique) par diamètre singleton = 0 (car d(x,y=0 <=> x= y <=> {x,y} est un singleton)

D'autres part , supposons que l'on a défini une application d , et que l'on définisse simultanément une topologie Td et une application delta : Td --> IR+ diamètre au sens de d.

tel que delta soit bijective .

Je crois que l'on peut montrer que Td est induite par d (j'ai essayé sans succès ...) .

En tout cas , supposons que d soit bien une métrique .
Alors : 0 a une seule image réciproque par delta ... Il y aurait donc un singleton dans Td ... Impossible car un espace métrique est séparé , et tout singleton y est donc fermé ...

d ne peut donc pas etre une métrique ...

[invite76db3c86]

en fait je ne crois pas que l'on puisse définir delta de T dans IR+ ...

[invite57a1e779]

Je comprends mal le problème : le diamètre est une propriété métrique et non topologique.

Pour une topologie donnée, si elle est métrisable, cela se fait nécessairement de plusieurs façons.

Par exemple la topologie usuelle, discrète, sur N est définie aussi bien par la distance usuelle : que par la distance ultramétrique :



Dans le premier cas, tout sous-ensemble qui contient au moins deux éléments est de diamètre 1 (les autres sont de diamètre nul) ; dans le second cas, les ensembles de diamètre 1 sont les seuls : (et il existe des sous-ensembles de tout diamètre entier, et même des sous-ensembles de diamètre infini...). Dans les deux cas, tout sous-ensemble de N est ouvert.

[invite76db3c86]

Oué non j'ai dit pas mal de bêtise , en fait je me demandais si on pouvais déduire une topologie d'une distance telle que tout réel positif soit visé par un diamètre d'un ouvert (et un seul)de cette topologie .

Mais comme un espace métrique est séparé , on ne peut pas avoir d'antécédent pour 0 puisque seuls les singletons vérifient cette propriété , et ils sont fermés ...

Bref c'était juste ça mon problème ...

[invite57a1e779]

je me demandais si on pouvais déduire une topologie d'une distance telle que tout réel positif soit visé par un diamètre d'un ouvert de cette topologie...

En simplifiant : tu voudrais déduire une topologie à partir d'elle-même, puisque tu supposes les ouverts connus... j'avoue ne pas comprendre ton problème.

Mais comme un espace métrique est séparé , on ne peut pas avoir d'antécédent pour 0 puisque seuls les singletons vérifient cette propriété , et ils sont fermés ...

Le fait d'être fermé n'interdit pas d'être ouvert...

[Seirios]

Effectivement , je parle de continuité dans un ensemble sans structure à priori , pourrait on le munir d'une structure convenable pour pouvoir parler de continuité ?

Si X est muni de la topologie discrète (qui est métrisable, par la distance discrète), alors toute fonction de X vers un espace topologique est continue.

PS : je ne omprends pas bien le terme de "puissance du continu" , cela a t il un lien avec la dénombrabilité ?

On dit qu'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec IN ; on dit qu'il a la puissance continu s'il est en bijection avec IR.

Cependant , je serais très heureux si tu validais mon intuition par une démonstration rigoueureuse , meme si je n'étais intuitivement pas parti dans ce sens ...

Deux remarques : Premièrement, l'application diamètre n'est peut-être pas si bien définie, les ouverts pas nécessairement bornés. Donc soit on admet la valeur , soit on se restreint à une base de voisinages (ce qui, je pense, est plus proche de ta question), soit on considère une distance bornée équivalente à celle considérée (mais alors on ne peut pas avoir la surjectivité). Ensuite, il me semble que par convention, l'ensemble vide est de diamètre nul, donc il n'y a pas que les singletons qui sont de diamètre nul (même si, comme l'a dit God's Breath, ce n'est pas gênant).

Si l'on définit l'application diamètre sur , alors un argument simple permet de montrer que la bijection dont tu parles ne peut pas exister : Si X est de cardinal au moins 2, soient x et y deux points distincts. Notons . Alors et .

[invite76db3c86]

Merci pour vos réponses ...
JJe crois que je vais arrêter avec cette histoire ...

A part quelques dernières question : dans un espace métrique , un singleton peut il appartenir à une topologie induite par la distance ?

[invite57a1e779]

Oui, dès qu'il s'agit d'un point isolé.