Calcul d'un déterminant d'ordre n

[inviteb36b3ad0]

Bonsoir tout le monde,
Je dois calculer ce déterminant d'ordre n :



La réponse en calculant pour les premières valeurs de , est il me semble, mais je n'arrive pas à le prouver.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci!
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
Prends la colonne n, et retire-lui la colonne n-1, prends la colonne n-1, et retire-lui la colonne n-2, ...., prends la colonne 2 et retire la colonne 1, puis
prends la ligne n, et retire-lui la ligne n-1, prends la ligne n-1, et retire-lui la ligne n-2, ...., prends la ligne 2 et retire la ligne 1. Qu'obtiens-tu ?

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
D'abord pour n=2 on a le det= -3 non pas 2^3.
Jet'invite a effectuer ces operations sur les lignes:
Ligne 1 <- Ligne n+ Ligne 1
Ligne 2 <- Ligne n-1 + Ligne 2.
.
.
.
Je pense qu'il y'aura deux cas, selon que n soit pair ou impaire. Mais je ne suis pas si sur, ce sont de simples speculations.
Bonne nuit.

[inviteb36b3ad0]

Effectivement quand est pair le déterminant est négatif .
Quand est impair le déterminant est positif et vaut ça devrait être ça cette fois.
Mais je ne vois vraiment pas comment faire pour arriver au résultat et je ne vois même pas à quoi pourrait ressembler l'expression de lorsque est pair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb36b3ad0]

Quand est impair le déterminant est positif et vaut

Non même pas xD mais quelque chose qui y ressemble ça donne une idée.

[invite899aa2b3]

Avec les manipulations que j'ai indiquées, on se retrouve à calculer le déterminant de où . Ça se fait bien en ajoutant à la première colonne la moitié des autres.

[inviteb36b3ad0]

Bonjour,
Prends la colonne n, et retire-lui la colonne n-1, prends la colonne n-1, et retire-lui la colonne n-2, ...., prends la colonne 2 et retire la colonne 1, puis
prends la ligne n, et retire-lui la ligne n-1, prends la ligne n-1, et retire-lui la ligne n-2, ...., prends la ligne 2 et retire la ligne 1. Qu'obtiens-tu ?

Merci j'y suis arrivé.