Matrice carrée, endomorphisme

[invitec7dc71f9]

Bonjour à tous,
Voici mon premier post sur le forum !
En réalisant des exercices sur les matrices je me pose plusieurs questions (peut être bêtes) mais qui m'emmêlent les pinceaux.
1 - Quand on étudie une application linéaire d’un endomorphisme (par exemple de R^4 -> R^4) le rang de la matrice représentative (nombre de colonnes=nombre de lignes=4 ici) est-il forcément 4 ou peut-il être inférieur à 4 ? Autrement dit est ce que le rang de ma matrice est forcément égale à n.
2 - Est-ce qu’une matrice carrée par ex 3*3 est forcément de rang 3 où est ce que la définition d’une matrice carrée c’est simplement qu’il y a autant de lignes que de colonnes et donc que le rang encore une fois peut être inférieur à n.
3 - Pourrait-on calculer le rang d’une telle matrice ? Une telle matrice peut-elle être inversible ? diagonale ?

Merci d’avance
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[Tiky]

Bonjour,

Une matrice carrée d'ordre n est une matrice avec n lignes et n colonnes.
Le rang d'une matrice carrée d'ordre n est compris entre 0 et n. Il y a beaucoup de définitions équivalentes pour le rang.
Par exemple, c'est le cardinal de la plus grand famille de colonnes libre, c'est-à-dire linéairement indépendante.
De même, c'est le cardinal de la plus grand famille de lignes libre.
C'est aussi la dimension de l'image dans l'espace vectoriel d'arrivé.

On peut calculer le rang d'une matrice. Une matrice carrée d'ordre n est inversible si et seulement si son rang est n.

Une petite précision, la notion de rang est plus générale. On peut calculer le rang d'une matrice qui n'est pas carrée.

[invitec7dc71f9]

Merci de votre réponse

Entendu, ainsi si j'ai une matrice carrée de rang inférieur à n je peux quand même calculer son déterminant, l’inverser, la diagonaliser (dans la mesure ou elle est diagonale et inversible) ?

[invitec7dc71f9]

Désolé, je n'avais pas vu l'autre parti du message alors si mon rang est inférieur à n elle ne peut pas être inversible mais peut-elle etre diagonalisable ?
La diagonalisation ne s'applique pas seulement aux matrices carrées de rang n ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7dc71f9]

3 - Pourrait-on calculer le rang d’une telle matrice ?

Je voulais dire le déterminant et non pas le rang.

[Tiky]

Si le rang est strictement inférieur à n, le déterminant est 0.
Une matrice peut être non-inversible et diagonalisable. La matrice nulle par exemple.
La diagonalisation ne concerne que les endomorphismes et le déterminant les matrices carrées.

[invitec7dc71f9]

D'accord merci bien